Corrigé des exercices - Dunod

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2. Les deux suites (v 2n+1 ) n∈N et (v 2n ) n∈N convergent donc vers la même limite l. On sait
qu’alors (v n ) n∈N converge vers l.
On a, pour tout n ∈ N, v 2n+1 l v 2n . On en déduit que
|v 2n − l| v 2n − v 2n+1 u 2n+1 .
En écrivant v 2n+1 l v 2n+2 , on obtient de même |v 2n+1 − l| u 2n+2 . On a donc
∀n ∈ N |v n − l| u n+1 .
Exercice 15.29
1. On écrit, pour n 1,
2( √ n + 1 − √ n) =
2
√ n + 1 +
√ n
.
Comme 2 √ n √ n + 1 + √ n 2 √ n + 1, on en déduit
1
√ n + 1
2( √ n + 1 − √ n) 1 √ n
.
2. Des inégalités démontrées dans la question 1 il vient pour n 1,
u n+1 − u n =
=
1
√ n + 1
− 2 √ n + 2 + 2 √ n + 1
1
√ n + 1
− 2( √ n + 2 − 2 √ n + 1) 0
(on applique l’inégalité 2( √ n + 1 − √ n) 1 √ n
au rang n + 1) et
v n+1 − v n =
=
1
√ n + 1
− 2 √ n + 1 + 2 √ n
1
√ n + 1
− 2( √ n + 1 − √ n) 0.
La suite (u n ) n∈N ∗ est croissante et la suite (v n ) n∈N ∗ est décroissante.
Enfin, il découle de l’encadrement obtenu à la première question que
lim (v n − u n ) = lim 2(√ n + 1 − √ n) = 0.
n→+∞ n→+∞
Les suites (u n ) n∈N et(v n ) n∈N sont donc adjacentes.
Exercice 15.30
1. On a, pour n 1, u n+1
=
u n
Pour (v n ) n∈N , on écrit
(
1 +
v n+1
= u n+1
1 + 1
n+1
v n u n 1 + 1 n
)
1
(n + 1) 2 > 1, donc la suite (u n ) n∈N ∗ est croissante.
=
( )
1 n(n + 2)
1 +
(n + 1) 2 (n + 1) 2 .