Corrigé des exercices - Dunod

→
⎛
⎝ 1 0 −λ
0 1 −λ 2
0 −λ 1
⎞
⎠ L 2 ↔ L 3 → A(λ) =
⎛
⎝ 1 0 −λ
⎞
0 1 −λ 2 ⎠
0 0 1 − λ 3
L 3 ← L 3 + λL 2
λ est valeur propre si et seulement si 1 − λ 3 = 0. A possède une valeur propre réelle 1 et
deux valeur s propres complexes ⎛ j,j ⎞
2 .
x
Une équation de E 1 est A(1) ⎝ y ⎠ = 0 soit
z
{
x − z = 0
y − z = 0 ⇔ x = y = z
D’où E 1 = Vect(1,1,1).
⎛
Une équation de E j est A(j) ⎝
D’où E j = Vect(j,j 2 ,1).
Une équation de E j 2 est A(j 2 ) ⎝
D’où E j 2 = Vect(j 2 ,j,1).
x
y
z
⎞
⎠ = 0 soit
{ x − jz = 0
y − j 2 z = 0 ⇔ { x = jz
y = j 2 z
⎛
7. On triangule A − λI
⎛
⎝ 1 − λ 0 1
0 1 − λ 0
1 1 1 − λ
⎛
→ ⎝
x
y
z
⎞
⎠ = 0 soit
{
x − j 2 z = 0
y − jz = 0 ⇔ {
x = j 2 z
y = jz
⎞
⎠ →
⎛
1 1 1 − λ
0 1 − λ 0
0 λ − 1 −λ 2 + 2λ
⎛
→ A(λ) = ⎝
⎝ 0 1 − λ 0
1 1 1 − λ
1 − λ 0 1
⎞
⎠
1 1 1 − λ
0 1 − λ 0
0 0 −λ 2 + 2λ
⎞
L 3 ← L 3 + (λ − 1)L 1
⎞
⎠
L 3 ← L 3 + L 2
⎠ L 1 ↔ L 3
λ est valeur propre si et seulement si λ(1 − λ)(2 − λ) = 0. A possède donc trois valeurs
propres 0,1,2.
Une équation de E 0 est A(0)X = 0 soit
{ x + y + z = 0
y = 0 ⇔ { x = −z
y = 0
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