Corrigé des exercices - Dunod

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n∑ λ i
Comme = 1, l’hypothèse de récurrence donne que le point B =
1 − λ
i=1 n+1
appartient à Ω. Le point
n+1
∑
λ i A i = (1 − λ n+1 )B + λ n+1 A n+1
i=1
n∑
i=1
λ i
1 − λ n+1
A i
appartient aussi à Ω par définition d’un ensemble convexe, ce qui termine la démonstration
par récurrence.
Exercice 26.17
On peut écrire
Ω =
{
(x,y) ∈ R 2 ,
(
x − 1 ) }
2
2 y + 3 4 y2 α .
Soit (x,y) et (x ′ ,y ′ ) deux éléments de Ω, λ ∈ [0,1],
(X,Y ) = (1 − λ)(x,y) + λ(x ′ ,y ′ ) = ((1 − λ)x + λx ′ ,(1 − λ)y + λy ′ ).
On calcule
K =
=
(
X − 1 2 Y ) 2
+ 3 4 Y 2
(
(1 − λ)
(x − 1 ) (
2 y + λ x ′ − 1 )) 2
2 y′ + 3 4 ((1 − λ)y + λy′ ) 2 .
La fonction x ↦−→ x 2 est convexe sur R. On a donc
(
K (1 − λ) x − 1 ) 2 (
2 y + λ x ′ − 1 ) 2
2 y′ + 3 ((1 )
− λ)y 2 + λy ′ 2
4
( (
x − 1 ) ) ( 2 (
2 y + 3 4 y2 x ′ − 1 ) 2
2)
2 y′ + 3 4 y′
(1 − λ)
+ λ
.
Comme (x,y) et (x ′ ,y ′ ) appartiennent à Ω, on en déduit
K (1 − λ)α + λα α,
ce qui montre que (X,Y ) appartient à Ω. L’ensemble Ω est donc convexe.
Chapitre 27
Exercice 27.1
On utilise les inégalités
|x| ‖(x,y)‖
et |y| ‖(x,y)‖.