Corrigé des exercices - Dunod

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Exercice 15.23
1. On a, pour tout entier naturel n,
On en déduit que
lim a n = 0.
n→+∞
a n+1
= 1 (n + 1)!k!(n − k)! n + 1
=
a n 2 k!(n + 1 − k)!n! 2(n + 1 − k) .
a n+1
lim
n→+∞ a n
= 1 . En raisonnant comme dans l’exercice 8, on obtient
2
2. a) Soit ε > 0. Puisque la suite (u n ) n∈N converge vers 0, on peut trouver un entier n 0 tel
que |u n | ε pour tout n n 0 . On obtient, pour n n 0 ,
|v n | 1
n∑
0−1 ( n
2 k)
n |u k | + 1 ∑ n
2 n
k=0
1
n∑
0−1
2 n
k=0
( n
k)
|u k | + ε
2 n n
∑
( n
k)
( ) n
ε
k
k=n 0
( n
k)
k=0
n∑
0−1
k=0
( n
k)
2 n |u k| + ε.
Il résulte de la question 1 que lim
n→+∞ 2 n |u k| = 0, pour tout k ∈ [[0,n 0 −1]]. L’entier n 0 étant
fixé, on a donc
n 0−1
(
∑ n
lim k)
n→+∞ 2 n |u k| = 0,
k=0
puisqu’on a une somme de suites convergeant toutes vers 0. On en déduit qu’on peut trouver
n 0−1
(
∑ n
un entier n 1 tel que, pour n n 1 , k)
2 n |u k| ε. On obtient,
k=0
∀n max(n 0 ,n 1 ) |v n | 2ε,
ce qui montre que la suite (v n ) n∈N converge également vers 0.
n∑
( n
b) Si (u n ) n∈N converge vers l, on peut écrire, puisque = 2
k)
n ,
k=0
(
v n − l = 1 ∑ n ( )
n
2 k)
n u k − 2 n l = 1 ∑ n ( n
2 n (u k − l).
k)
k=0
k=0
Puisque la suite (u n ) n∈N converge vers l, la suite (u n − l) n∈N converge vers 0 et on déduit
de la question a que (v n − l) n∈N converge vers 0, c’est-à-dire que (v n ) n∈N converge vers l.
Exercice 15.24
1. Vrai. Si (u n ) n∈N est croissante à partir du rang n 0 , on a, pour tout n ∈ N,
u n min(u 0 ,u 1 ,...,u n0−1,u n0 ).