Corrigé des exercices - Dunod

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Exercice 20.33
La dérivée x ↦−→ 1
1 + x 2 de arctan est C∞ comme quotient de polynômes. Il en est de même
de arctan. On vérifie la formule par récurrence.
Pour n = 1, on a
( π
)
0!cos(f(x))sin
2 + f(x) = cos 2 1
f(x) =
1 + tan 2 f(x) = 1
1 + x 2 = f ′ (x).
Supposons que la formule est vraie au rang n et calculons f (n+1) . On obtient, pour tout réel
x,
(
f (n+1) (x) = (n − 1)!
+cos n f(x)ncos
Comme f ′ (x) = cos 2 (f(x)), on en déduit
−nsin(f(x))cos n−1 (f(x))sin
( ( π
))
n
2 + f(x) f ′ (x).
( (
f (n+1) (x) = n!cos n+1 (f(x)) −sin f(x)sin n
(n π )
2 + (n + 1)f(x)
= n!cos n+1 (f(x))cos
= n!cos n+1 (f(x))sin
( π
2 + f(x) ))
( ( π
))
(n + 1)
2 + f(x)
La formule est donc vraie au rang n + 1, donc pour tout entier n.
( ( π
))
n
2 + f(x)
( ( π
)))
+ cos(f(x))cos n
2 + f(x)
Exercice 20.34
La fonction f est C ∞ comme composée de fonctions C ∞ .
1. On calcule f ′ et f ′′ . Pour tout x > 1,
f ′ (x) = x(x 2 − 1) − 1 2
f ′′ (x) = (x 2 − 1) − 1 2 −
1
2 x(2x)(x2 − 1) − 3 2 = −(x 2 − 1) − 3 2 .
On démontre la propriété par récurrence.
Elle est vérifiée pour n = 2, avec P 2 (x) = 1, polynôme de degré 0, à coefficients strictement
positifs.
Supposons que la propriété est vraie au rang n et calculons f (n+1) . On a, pour tout x > 1,
(
f (n+1) (x) = (−1) n+1 P n(x)(x ′ 2 − 1) −n+ 1 2 + (−1) n+1 P n (x) −n + 1 )
(2x)(x 2 − 1) −n− 1 2
2
= (−1) n+2 (x 2 − 1) −n− 1 2 [−P
′
n (x)(x 2 − 1) + (2n − 1)xP n (x)].
Si on pose P n+1 (x) = −P ′ n(x)(x 2 − 1) + (2n − 1)xP n (x), P n+1 est un polynôme de degré
inférieur ou égal à n − 1. Il reste à vérifier que P n+1 est à coefficients strictement positifs,
de degré n − 1, pour que la propriété soit vérifiée au rang n + 1.