Corrigé des exercices - Dunod

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2. Pour tout réel x, g(x) = 1 , G(x) = arctanx et f est de la forme
1 + x2 x ↦−→ Ce arctan x , C ∈ R.
3. Pour tout x ∈ I, g(x) = x
1 − x 2 , G(x) = −1 2 ln |1 − x2 |. Il existe C ∈ R tel que, pour tout
x ∈ I,
)
f(x) = C exp
(
− 1 2 ln |x2 − 1|
=
C
√
|1 − x2 | .
4. Pour tout x ∈ I,
1
g(x) =
x(1 − x) = 1 x + 1
∣ ∣∣∣
1 − x , G(x) = ln |x| − ln |1 − x| = ln x
1 − x∣
et il existe C tel que, pour tout x ∈ I,
(
)
f(x) = C exp ln
x
∣1 − x∣
= C
x
∣1 − x∣ .
x
Comme
1 − x garde un signe constant sur chaque intervalle I, il existe C′ ∈ R (C ′ = ±C)
tel que, pour tout x ∈ I,
f(x) = C ′ x
1 − x .
5. Pour tout x ∈ ]0,π[, f(x) = cos x et G(x) = ln sinx. Il existe C ∈ R tel que, pour tout
sin x
x ∈ ]0,π[,
f(x) = C exp(ln(sinx)) = C sinx.
Exercice 22.10
1. a) La fonction ϕ est définie sur I par ϕ(x) = f(x)e −G(x) . Comme f et G elle est dérivable
sur I.
b) Pour tout x ∈ I,
ϕ ′ (x) = f ′ (x)e −G(x) + f(x)(−g(x))e −G(x) = (f ′ (x) − g(x)f(x))e −G(x) .
On a donc f ′ − gf = h si et seulement si, pour tout x ∈ I, ϕ ′ (x) = h(x)e −G(x) .
2. La méthode de la question 1 s’applique, une fois divisé par le coefficient de f.
a) Pour x > 0, g(x) = − 2 x , G(x) = −2ln x et e−G(x) = x 2 . Par ailleurs h(x) = 3 + 2 x .
On a donc, pour x > 0, ϕ ′ (x) = 3x 2 + 2x. Il existe un réel C tel que, pour tout x > 0,
ϕ(x) = x 3 + x 2 + C
et donc
f(x) = ϕ(x)e G(x) = ( x 3 + x 2 + C ) 1
x 2 = x + 1 + C x 2 .