Corrigé des exercices - Dunod

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3. En appliquant ce qui précède aux n-uplets ( √ a 1 , √ a 2 , · · · , √ a n ) et ( 1 √
a1
,
on obtient le résultat demandé.
Exercice 5.13
1
√
a2
· · · ,
1
√
an
),
1. a) A = x 4 +x 2 +2x 2 +2 = (x 2 +1)(x 2 +2); B = (x 2 +1) 2 −x 2 = (x 2 +x+1)(x 2 −x+1);
C = x 3 − 1 + x 2 − 1 + x − 1 = (x − 1)(x 2 + x + 1 + x + 1 + 1) = (x − 1)(x 2 + 2x + 3)
D = x 4 − x 3 + 3x 3 − 3x 2 − x 2 + x − 3x + 3 = (x − 1)(x 3 + 3x 2 − x − 3) = (x − 1)(x + 3)(x 2 − 1)
b)
= (x − 1) 2 (x + 3)(x + 1)
• X = a(b + 1) + (b + 1) = (b + 1)(a + 1);
• On développe : Y = ab 2 + ac 2 + 2abc + bc 2 + ba 2 + 2abc + ca 2 + cb 2 + 2abc − 4abc,
On regroupe : Y = a(c 2 + ab + ca + bc) + b(c 2 + ab + cb + ac),
On factorise : Y = (a+b)(c 2 +ab+ca+bc) = (a+b)(c(a+c)+b(a+c)) = (a+b)(b+c)(c+a)
• Z = a(a 3 +6a 2 +11a+6) = a(a 3 +a 2 +5a 2 +5a+6a+6) = a(a+1)(a 2 +5a+6) = a(a+1)(a+2)(a+3).
Exercice 5.14
1.
• On développe A = a 2 b −a 2 c+b 2 c −b 2 a+c 2 a −c 2 b = (ac 2 −ca 2 +ba 2 )+(−bc 2 +cb 2 +ab 2 )
en factorisant : A = a(c 2 − ca + ab) + b(−c 2 + cb + ab) Pour faire apparaître un facteur
commun, on ajoute et on retranche le terme abc :
A = a(c 2 −ca+ab−bc)+b(−c 2 +cb−ab+ac) = (a−b)(c 2 −ca+ba−bc) = (a−b)(c(c−a)−b(c−a))
On obtient alors : A = (a − b)(c − a)(c − b) = −(a − b(b − c)(c − a).
• En remplaçant a par b, on obtient 0. C’est l’indice d’une factorisation possible par (a −b).
Par symétrie, on pense à une factorisation par (a−b)(b−c)(c−a) Pour trouver le quotient,
on peut considérer les expressions en jeu comme des polynômes en a, et procéder par
identification, ou poser la division.
On trouve :B = −(a + b + c)(a − b)(b − c)(c − a)
• Même méthode que pour le B. On trouve C = −(bc + ca + ab)(a − b)(b − c)(c − a).
Exercice 5.15
1. L’équation x√ x − 2
x − 3
= x − 1 √ x − 2
est définie pour x ∈]2,3[∪]3,+∞[. Sur cet ensemble, elle
équivaut à x(x − 2) = (x − 1)(x − 3), c’est à dire à 2x = 3.Comme 3 n’appartient pas à
2
l’ensemble de définition de l’équation, celle si n’a pas de solution.
2. L’équation √ x − 1 + √ x + 4 = √ 5 est définie pour x 1. Deux nombres positifs sont
égaux si et seulement si leurs carrés sont égaux. Donc, pour tout x de cet ensemble, cette
équation équivaut à 2x + 3 + 2 √ (x − 1)(x + 4) = 5, c’est à dire à √ (x − 1)(x − 4) = 1 − x.
Comme 1 − x est négatif pour x 1, la seule possibilité est x = 1 qui est la seule solution
de cette équation.