Corrigé des exercices - Dunod

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P R1∩···∩R n
(R n+1 ) = P(R1∩···∩Rn+1)
P(R 1∩···∩R n) .
D’après la formule des probabilités totales avec le système complet d’événements (U 0 , · · · ,U N ),
P(R 1 ∩ · · · ∩ R n ) =
N∑
P Uk (R 1 ∩ · · · ∩ R n )P(U k )
Comme l’urne est choisie au hasard, par équiprobabilité, P(U k ) = 1
N+1 .
Et P Uk (R 1 ∩ · · · ∩ R n ) = ( )
k n.
N
Ainsi P(R 1 ∩ · · · ∩ R n ) = 1
N+1
N∑
k=0
( k
N
) n.
k=0
2. La fonction x ↦→ x n est continue sur [0,1].
Et à l’aide des sommes de Riemann,
Ainsi
lim P(R 1 ∩ · · · ∩ R n ) = 1
N→+∞
n+1 .
Exercice 29.19
lim
N→+∞
1
N
N∑
( ) n ∫ k 1
=
N
k=1
0
x n dx = 1
n + 1 .
1. Notons E l’événement «quand le joueur prend la dernière allumette d’une boîte, l’autre
boîte contienne encore x allumettes».
Notons D i (respectivement G i ) l’événement « la ième allumette est tirée dans la poche
droite (respectivement la poche gauche) », D i,j (respectivement G i,j ) l’événement «toutes
les allumettes de la ième à la jème sont tirées dans la poche droite (respectivement la poche
gauche)».
E = { D 1,i1−1 ∩ G i1 ∩ D i1+1,i 2−1 ∩ G i2 ∩ · · · ∩ G iN−1 ∩ D iN−1+1,2N−x−1 ∩ G 2N−x ,
G 1,i1−1 ∩ D i1 ∩ G i1+1,i 2−1 ∩ D i2 ∩ · · · ∩ D iN−1 ∩ G iN−1+1,2N−x−1 ∩ D 2N−x
où 1 i 1 < i 2 · · · < i N−1 2N − x − 1 }
Or par indépendance des tirages,
P ( D 1,i1−1 ∩ G i1 ∩ D i1+1,i 2−1 ∩ G i2 ∩ · · · ∩ G iN−1 ∩ D iN−1+1,2N−x−1 ∩ G 2N−x
)
= 1
2 2N−x .
Donc P(E) = 2(2N−x−1 N−1 )
2 2N−x .
2. Notons F l’événement «quand le joueur se rendant compte pour la première fois qu’une
boîte est vide, il reste x allumettes dans l’autre boîte».
Alors F = { D 1,i1−1 ∩ G i1 ∩ D i1+1,i 2−1 ∩ G i2 ∩ · · · ∩ G iN ∩ D iN+1,2N−x,
Or par indépendance des tirages,
G 1,i1−1 ∩ D i1 ∩ G i1+1,i 2−1 ∩ D i2 ∩ · · · ∩ D iN ∩ G iN+1,2N−x
où 1 i 1 < i 2 · · · < i N 2N − x }
P (D 1 ∩ · · · ∩ D i1−1 ∩ G i1 ∩ D i1+1 ∩ · · · ∩ D i2−1 ∩ G i2 ∩ · · · ∩ G iN ∩ D iN+1 ∩ · · · ∩ D N−x )