Corrigé des exercices - Dunod

Chapitre 16
Exercice 16.1
1. Si f(x) = x 2 + x + 1, alors |f(x) − 1| = |x||x + 1| et |x + 1| 1 implique |x| 2 et
|f(x) − 1| 2|x + 1|. On a, pour tout ε > 0,
|x + 1| min( ε ,1) =⇒ |f(x) − 1| ε.
2
2. Si f(x) = 2x − 1
x + 1 , alors |f(x) − 2| = 3
|x + 1| 3 x
143
si x > 0. On a donc, pour tout ε > 0,
x 3 ε
=⇒ |f(x) − 2| ε.
3. Pour tout A > 0, on a
|x − 1| 1 √
A
=⇒ f(x) A.
Exercice 16.2
1. On a
x 2 + 3x − 1 x 2 + 3x − 1
x 2 + 3x − 1 x 2
lim = +∞, lim = −∞, lim = lim
x→1 + x − 1
x→1 − x − 1
x→+∞ x − 1 x→+∞ x = +∞.
2. La fonction n’est définie qu’à gauche de −1 et
x − 1
lim = +∞ donc
x→−1 x + 1 lim
x→−1
x − 1
lim
x→+∞ x + 1 = lim x
x→+∞ x = 1 donc
√
x − 1
x + 1 = +∞ ;
lim
x→+∞
√
x − 1
x + 1 = 1.
3. En multipliant par l’expression conjuguée, on obtient pour x < 0,
√
x2 + 3x − 1 + (x + 1) =
x − 2
√
x2 + 3x − 1 − (x + 1) =
1 − 2 x
√
− 1 + 3 x − 1 x
− 1 − 1 2 x
et
√
lim x2 + 3x − 1 + (x + 1) = − 1
x→−∞
2 .
4. Si x > 0 et 2x + sin x ≠ 0, on peut écrire
et on obtient
lim
x→+∞
x + √ x
2x + sin x = 1 + √ 1
x
2 + sin x
x
x + √ x
2x + sin x = 1 + 0
2 + 0 = 1 2
et
lim
x→0
x + √ x
2x + sin x = +∞.