Corrigé des exercices - Dunod

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5. Là encore, f est continue sur chacun des ouverts Ω 1 = {(x,y) ∈ R 2 , y > x 2 },
Ω 2 = {(x,y) ∈ R 2 , y < −x 2 } et Ω 3 = {(x,y) ∈ R 2 , −x 2 < y < x 2 }. Il faut étudier la
continuité en (x 0 ,y 0 ) tel que y 0 = ±x 2 0.
Étudions le cas y 0 = x 2 0, x 0 ≠ 0. On a, par définition, f(x 0 ,x 2 0) = x 0 . Puisque
Ω 3 = {(x,y) ∈ R 2 , y + x 2 > 0} est ouvert, si on prend (x,y) dans une boule de
centre (x 0 ,x 2 0) assez petite, on a (x,y) ∈ Ω 3 ; on en déduit que soit f(x,y) = x soit
f(x,y) = y . Cela implique
x |f(x,y) − f(x 0 ,x 2 0)| |x − x 0 | + ∣ y x − x 0∣ .
La continuité des fonctions (x,y) ↦−→ x et (x,y) ↦−→ y x en (x 0,x 2 0) permet de rendre ceci
inférieur à tout ε > 0 pour ‖(x,y) − (x 0 ,x 2 0)‖ assez petit. Ainsi f est continue en (x 0 ,x 2 0).
Le cas y 0 = −x 2 0, x 0 ≠ 0 se traite de la même manière.
Il reste le cas x 0 = y 0 = 0. On a f(0,0) = 0. On note que, pour tout (x,y) ∈ R 2 ,
Ceci montre la continuité de f en (0,0).
Finalement, f est continue sur R 2 .
Exercice 27.3
1. a) Des inégalités
on tire, pour tout (x,y) ∈ R 2 ,
|f(x,y)| |x| ‖(x,y)‖.
|x| ‖(x,y)‖, |y| ‖(x,y)‖
Pour x ≠ 0, on a f(x,x) = 1 2 |x|p+q−1 .
et |x| + |y| ‖(x,y)‖,
|f(x,y)| = f(x,y) ‖(x,y)‖ p+q−1 .
b) Si f est continue en (0,0), on obtient par le théorème de composition des fonctions
continues lim
x→0
f(x,x) = 0. Ceci implique p + q − 1 > 0.
Réciproquement, si p + q − 1 > 0, ‖(x,y)‖ p+q−1 tend vers 0 avec ‖(x,y)‖ et l’inégalité
précédente qui peut s’écrire |f(x,y) − f(0,0)| ‖(x,y)‖ p+q−1 montre que f est continue en
(0,0).
Ainsi f est continue en (0,0) si, et seulement si, p + q − 1 > 0.
2. On utilise la même méthode que dans la question 1. On remarque que, pour tout t 0,
( )
g t 1 1
r ,t s = t p r + q s
= 1 2t 2 t p r + q s −1 .
( )
Si g est continue en (0,0), alors g t 1 r ,t 1 s a pour limite 0 car les fonctions t ↦−→ t 1 r
t ↦−→ t 1 s ont pour limite 0 en 0. Ceci est réalisé si et seulement si p r + q s − 1 > 0.
Si réciproquement, si p r + q −1 > 0, on obtient en utilisant la question 1, pour (x,y) ≠ (0,0),
s
et
|g(x,y) − g(0,0)| = g(x,y) = (|x|r ) p r
+ (|x| s ) q s
|x| r + |x| s (‖(|x| r , |y| s )‖) p r + q s −1 .