Corrigé des exercices - Dunod

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façon que n = 4a+9b. Considérons alors n+1, qui peut s’écrire : 4a+9b+4×7−9×3 = 4(a+7)+9(b−3).
Ceci donne une décomposition convenable pour b 3.
On peut aussi écrire n + 1 = 4a + 9b − 4 × 2 + 9 × 1 = 4(a − 2) + 9(b + 1), ce qui donne une
décomposition convenable pour a 2.
La propriété est donc héréditaire si (b 3 ∨ a 2). Elle n’est pas héréditaire pour
(b < 3 ∧ a < 2), c’est à dire puisque a et b sont des entiers, pour (b 2 ∧ a 1), c’est à dire
pour n 4 × 1 + 2 × 9 = 22. Elle est héréditaire pour n 23.
On doit maintenant amorcer la récurrence, c’est à dire prouver qu’il existe un entier n
satisfaisant à la condition, et appartenant à l’ensemble des entiers pour lesquels la propriété
est héréditaire. C’est le cas de 24 = 4 × 6 + 9 × 0.
On peut donc conclure par le principe de récurrence que tout entier naturel n supérieur ou
égal à 24 peut se décomposer sous la forme 4a + 9b où a et b sont des entiers naturels.
Remarquons que certains des entiers inférieurs à 24 peuvent se décomposer sous la forme
désirée, mais ce n’est pas vrai pour tous.
Exercice 5.19
1. On amorce sans difficulté pour n = 1.
n∑
Soit n un entier tel que (−1) i−1 k 6 = (−1) n−1
Calculons alors :
k=1
n∑
(−1) i−1 k 6 + (−1) n (n + 1) 6 = (−1) n−1
k=1
On a alors :
n 6 + 3n 5 − 5n 3 + 3n
.
2
n 6 + 3n 5 − 5n 3 + 3n
2
+ (−1) n (n + 1) 6 .
n+1
∑
(−1) i−1 k 6 = (−1)n [2(n 6 + 6n 5 + 15n 4 + 20n 3 + 15n 2 + 6n + 1) − (n 6 + 3n 5 − 5n 3 + 3n)]
2
k=1
n+1
∑
C’est à dire : (−1) i−1 k 6 = (−1)n (n 6 + 9n 5 + 30n 4 + 45n 3 + 30n 2 + 9n + 2).
2
k=1
On vérifie directement que ceci est bien égal à (n + 1) 6 + 3(n + 1) 5 − 5(n + 1) 3 + 3(n + 1)
(n + 1) 6 = n 6 + 6n 5 + 15n 4 + 20n 3 + 15n 2 + 6n + 1
3(n + 1) 5 = 3n 5 + 15n 4 + 30n 3 + 30n 2 + 15n + 3
−5(n + 1) 3 = −5n 3 − 15n 2 − 15n − 5
3(n + 1) = 3n + 3
n 6 + 9n 5 + 30n 4 + 45n 3 + 30n 2 + 9n + 2
La propriété est donc héréditaire, et l’on conclut par application du principe de récurrence.
Exercice 5.20
On amorce sans difficulté pour n = 1. Soit n un entier tel que
n 5
5 + n4
2 + n3
3 − n 30 = 6(n)5 + 15(n) 4 + 10(n) 3 − (n)
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