Corrigé des exercices - Dunod

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Exercice 22.13
1. a) Pour n ∈ N et t ∈
[
0, π ]
, on a 0 tan x 1 et donc
4
En intégrant sur
[
0, π ]
, on obtient
4
0 tan n+1 x tan n x.
0 I n+1 I n .
La suite (I n ) n∈N est décroissante et à termes positifs.
b) On trouve I 0 = π 4 et I 1 = [−ln cos x] π 4
0 = −ln √ 1 = 1 ln2 et, pour n 2,
2 2
I n + I n−2 =
=
∫ π
4
0
(
tan n t + tan n−2 t ) dt =
[ tan n−1 t
n − 1
] π
4
0
= 1
n − 1 .
∫ π
4
0
tan n−2 t(1 + tan 2 t)dt
Comme (I n ) n∈N est à termes positifs cette relation implique, pour tout n 2,
On en déduit que lim
n→+∞ I n = 0.
0 I n 1
n − 1 .
c) On utilise de manière réitérée la formule I n = 1
n − 1 −I n−2. On obtient, pour tout p 1,
I 2p = 1
2p − 1 − I 2p−2 = 1
2p − 1 − 1
2p − 3 + I 2p−4
= 1
2p − 1 − 1
2p − 3 + · · · + (−1)p
3
= (−1) p−1 [
1 − 1 3 + · · · + (−1)p−1
2p − 1 − π 4
I 2p+1 = 1
2p − I 2p−1 = 1
2p − 1
2p − 2 + I 2p−3
= 1
2p − 1
2p − 2 + · · · + (−1)p−1 + (−1) p I 1
2
[ 1
= (−1) p−1 2 − 1 4 + · · · (−1)p−1 − ln 2 ]
2p 2
=
[1 (−1)p−1 − 1 ]
2 2 + · · · (−1)p−1 − ln 2 .
p
+ (−1)p−1 + (−1) p I 0
1
]
,