Corrigé des exercices - Dunod

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2. On sait que j est racine du polynôme X 2 + X + 1.
On a alors : X 5 − 2X 4 + 5X 3 − 7X + 1 = (X 2 + X + 1)(X 3 − 3X 2 + 7X − 10) − 4X + 11
Donc P(j) = −4j + 11 = 11 − 2 √ 3 − 2i.
Exercice 7.20
1. Le reste dans la division euclidienne de P(X) par (X −a)(X −b)(X −c) est un polynôme
R(X) de degré inférieur ou égal à 2 tel queR(a) = P(a),R(b) = P(b) et R(c) = P(c).
On peut écrire les conditions que cela implique sur les coefficients, et résoudre le système
obtenu. Mais en utilisant les polynômes d’interpolation de Lagrange, on obtient directement :
R(X) = P(a)
(X − b)(X − c)
(a − b)(a − c)
+ P(b)(X
− a)(X − c)
(b − a)(b − c)
+ P(c)
(X − a)(X − b)
(c − a)(c − b) .
2. Le reste de la division de P(X) par (X − a) 3 est un polynôme de degré inférieur ou égal
à 2. On pourrait écrire les conditions que cela implique sur les coefficients (en utilisant les
dérivées successives) et résoudre le système obtenu. Mais l’utilisation de la formule de Taylor
permet d’écrire directement :
P(X) = P(a) + P ′ (a)(X − a) + P”(a) (X − a) 2 + (X − a) 3 Q(X), où Q(X) est un polynôme
2
que l’on sait écrire en fonction des valeurs en a des polynômes dérivés successifs de P. D’où
R(X) = P(a) + P ′ (a)(X − a) + P”(a) (X − a) 2 .
2
Exercice 7.21
D’après la seconde condition, on a directement
P(X) = (X +2) 3 (aX +b)+12 = aX 4 +(6a+b)X 3 +(12a+6b)X 2 +(8a+12b)X +8b+12.
P(X) + 10 étant divisible par (X − 2) 2 , on a P(2) + 10 = 0 et P ′ (2) = 0, ce qui donne :
32a + 16b + 3 = 0 et 10a + 3b = 0 En résolvant le système, on obtient : a = 9 etb = −15
64 32 ,
d’où le résultat : P(X) = 1
64 (9X − 30)(X + 2)3 + 12
Exercice 7.22
1. La deuxième condition est en réalité : (X + 1) 4 divise P(X) − 1 D’après les hypothèses,
(X − 1) 3 et (X + 1) 3 divisent P ′ (X). Comme P ′ (X) est de degré inférieur ou égal à 6, il
existe un réel a tel que P ′ (X) = a(X 2 −1) 3 = a(X 6 −3X 4 +3X 2 −1), et par conséquent un
1
réel b tel que P(X) = a(
7 X7 − 3 )
5 X5 + X 3 − X + b. Sachant de plus que 1 est racine de
P(X)+1, et que −1 est racine de P(X) −1, on obtient a( 1 7 − 3 5 +b+1 et a(−1 7 + 3 5 +b−1.
La résolution de ce système conduit à a = 35 et b = 0.
6
On conclut que P(X) = 35 ( 1
6 7 X7 − 3 5 X5 + X 3 − X)
.
2. Le résultat de la première question permet de conclure à l’existence de deux polynômes
A(X) et B(X) tels que P(X) + 1 = A(X)(X − 1) 4 et P(X) − 1 = B(X)(X + 1) 4 .
On en déduit par soustraction, que A(X)(X − 1) 4 − B(X)(X + 1) 4 = 2,
et donc que 1 2 A(X)(X − 1)4 − 1 2 B(X)(X + 1)4 = 1