Corrigé des exercices - Dunod

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2. On calcule Q(1) = 0, puis, avec Q ′ (X) = (2n+1)X 2n −(2n+1)(n+1)X n +n(2n+1)X n−1 ,
on calcule
Q ′ (1) = 2n + 1 − (2n + 1)(n + 1) + n(2n + 1) = 0.
Ensuite Q”(X) = 2n(2n + 1)X 2n−1 − n(2n + 1)(n + 1)X n−1 + n(n − 1)(2n + 1)X n−2 ,
et Q”(1) = 2n(2n + 1) − n(2n + 1)(n + 1) + n(n − 1)(2n + 1) = 0.
Enfin, on a Q ′′′ (1) = 2n(2n+1)(2n−1)−n(2n+1)(n+1)(n−1)+n(n−1)(2n+1)(n−2) ≠ 0,
ce qui prouve que 1 est racine multiple d’ordre 3 de P(X)
Exercice 7.16
1. Avec P(X) = X 6 − 7X 5 + 17X 4 − 16X 3 + 8X 2 − 16X + 16 , on calcule P(2) = 0,
puisP ′ (X) = 6X 5 − 35X 4 + 68X 3 + 24X 2 + 16X − 16, et P ′ (2) = 0.
Ensuite P”(X) = 30X 4 − 140X 3 + 204X 2 + 48X + 16, mais P”(2) = 288 ≠ 0. La racine 2
est multiple d’ordre 2. On pouvait aussi effectuer des divisions successives par (X-2)
2. En calculant les dérivées successives, on prouve simplement que 1 est racine double.
Exercice 7.17
n−1
∑
1. On sait que, pour tout entier naturel n : X n − 1 = (X − 1)
On calcule P(X) − Q(X) = X 3 (X 4a − 1) + X 2 (X 4b − 1) + X(X 4c − 1) + (X 4d − 1)
P(X) − Q(X) = X 3 ((X 4 ) a (
− 1) + X 2 ((X 4 ) b − 1) + X(X 4 ) c − 1) + (X 4 ) d − 1)
)
a−1
∑ ∑b−1
∑c−1
∑d−1
P(X) − Q(X) = (X 4 − 1) X 3 X 4k + X 2 X 4k + X X 4k + X 4k
P(X)) = Q(X)
Exercice 7.18
(
1 + (X − 1)
(
k=0
X 3 a−1
k=0
X k
k=0 k=0 k=0
))
∑ ∑b−1
∑c−1
∑d−1
X 4k + X 2 X 4k + X X 4k + X 4k
k=0
1. En remplaçant X par i dans (X sin α + cos α) n = (X 2 + 1)Q(X) + aX + b, on obtient
(cos α + isin α) n = (cos nα + isin nα) = ai + b.
On en déduit les valeurs de a et b : (X sin α + cos α) n = (X 2 + 1)Q(X) + sin nαX + cos nα
2. On pourrait bien sûr repartir de zéro avec un reste de degré 3. Mais, pour utiliser les
résultats de la première question, on écrit :
(X sin α+cos α) n = (X 2 +1) 2 Q(X)+(X 2 +1)(cX+d)+sin nαX+cos nα En dérivant, on a :
nsin α(X sinα+cos α) n−1 = 4X(X 2 +1)Q(X) = (X 2 +1) 2 Q ′ (X)+2X(cX+d)+c(X 2 +1)+sinnα,
et, en remplaçant par i, nsin α(cos(n − 1)α + isin(n − 1)α) = 2i(ci + d) + sin nα, donc
−2c + 2di = nsin α cos(n − 1)α − sinnα + insin α sin(n − 1)α
d’où le reste cherché :
( )
nsin α cos(n − 1)α − sinnα
(X 2 nsin α sin(n − 1)α
+ 1)
X + d + sinnαX + cos nα.
2
2
k=0
k=0
k=0
Exercice 7.19
1. On a : 2X 4 − 4X 3 − 7X − 14 = (X 2 − 2X − 2)(2X 2 + 4) + X − 6. Comme 1 + √ 3 est
racine de X 2 − 2X − 2, on a : P(1 + √ 3) = 1 + √ 3 − 6 = −1 + √ 3.