Corrigé des exercices - Dunod

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Chapitre 26
Exercice 26.1
1. Le point M appartient à d A,U s’il existe t ∈ R tel que M = (1 − t,1 + t).
Le point M = (x,y) appartient à d A,U si les vecteurs (x −1,y−1) et (−1,1) sont colinéaires
, i.e. si x + y − 2 = 0.
2. Le point M appartient à d A,U s’il existe t ∈ R tel que
M = (cos θ + tsin θ,sin θ − tcos θ).
Le point M = (x,y) appartient à d A,U si les vecteurs (x − cos θ,y − sinθ) et (sin θ, −cos θ)
sont colinéaires , i.e. si cos θ(x − cos θ) + sin θ(y − sin θ) = 0 ou encore cos θx + sin θy = 1.
Exercice 26.2
1. Il s’agit de la droite passant par A = (1,3) de vecteur directeur U = (1, −2).
2. Il s’agit de la demi-droite d’origine A = (2, −1) de vecteur directeur U = (−1,3), car t 2
décrit R + .
3. Il s’agit du segment [A,B], où A = (−5,4) et B = (3,2).
Exercice 26.3
Par linéarité du produit scalaire, on obtient
et donc
Exercice 26.4
‖U + V ‖ 2 = ‖U‖ 2 + ‖V ‖ 2 + 2〈U,V 〉, ‖U − V ‖ 2 = ‖U‖ 2 + ‖V ‖ 2 − 2〈U,V 〉
1. On calcule le carré de la norme :
‖U + V ‖ 2 + ‖U − V ‖ 2 = 2(‖U‖ 2 + ‖V ‖ 2 ).
‖U ′ − V ′ ‖ 2 = ‖U ′ ‖ 2 + ‖V ′ ‖ 2 − 2〈U ′ ,V ′ 〉 = ‖U‖2 ‖V ‖2
+
‖U‖
4
‖V ‖ 4 − 2 1
‖U‖ 2 ‖V ‖ 2 〈U,V 〉
=
1 (
‖V ‖ 2
‖U‖ 2 ‖V ‖ 2 + ‖U‖ 2 − 2〈U,V 〉 ) ‖U − V ‖2
=
‖U‖ 2 ‖V ‖ 2
et on obtient en prenant la racine carrée
‖U ′ − V ′ ‖ = ‖U − V ‖
‖U‖‖V ‖ .
2. Si V = 0, l’inégalité est évidente ; si U ou W est nul, on obtient une égalité.
Si aucun des trois vecteurs n’est nul, on divise par le produit de leurs normes et il s’agit de
démontrer que
‖U − W ‖
‖U‖ ‖W ‖ ‖W − V ‖ ‖V − U‖
+
‖W ‖ ‖V ‖ ‖V ‖ ‖U‖
c’est-à-dire
‖U ′ − W ′ ‖ ‖W ′ − V ′ ‖ + ‖V ′ − U ′ ‖.
Cela résulte de l’inégalité triangulaire.