Corrigé des exercices - Dunod

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2. D’après les propriétés des fonctions réciproques, comme lim ϕ(x) = +∞, on a
x→+∞
lim W(x) = +∞.
x→+∞
On a par définition x = ϕ(W(x)) = W(x)exp(W(x)). On en déduit que lnx = lnW(x)+W(x).
Quand x tend vers +∞, W(x) tend vers +∞ donc lnW(x) est négligeable devant W(x).
On a donc
W(x)
∼ W(x) + lnW(x) ∼
x→+∞
lnx.
x→+∞
On a ensuite W(x) − lnx = −ln W(x). Comme W(x) et ln x sont équivalents et tendent
vers +∞, on sait que leurs logarithmes sont équivalents. On obtient
W(x) − lnx = −lnW(x)
∼ −ln(ln x).
x→+∞
Exercice 18.12
1. Faux. Les suites de terme général u n = n et v n = n+(−1) n sont équivalentes, la première
est croissante, mais la seconde n’est pas monotone à partir d’un certain rang, car v 2n > v 2n+1
et v 2n+1 < v 2n+2 , pour tout n.
2. Faux. C’est vrai si la limite de (u n ) n∈N n’est pas nulle, mais la suite de terme général
u n = e −n u n+1
converge vers 0, alors que lim = e −1 .
n→+∞ u n
3. Faux comme le voit avec la suite de terme général u n = e n .
4. Faux. La suite de terme général u n = 1 n + (−1)n vérifie
u n + u n+1 = 1 n + 1
n + 1 ∼ 2 n , mais u n ∼ (−1) n .
Exercice 18.13
1. Les fonctions e f et e g sont équivalentes au voisinage de x 0 si lim = 1, i.e. lim e f−g = 1.
eg x 0
Par le théorème de composition des limites, cela équivaut à lim(f −g) = 0. C’est la condition
x0
cherchée.
2. Il a été démontré dans le cours que la propriété est vérifiée si l = 0 ou l = +∞. Si
l ∈]0,1[∪]1,+∞[, les fonctions lnf et ln g tendent vers la même limite non nulle lnl, donc
elles sont équivalentes.
Si l = 1, on a lnf ∼ f − 1 et lng ∼ g − 1 et n’y a aucune raison d’avoir lnf ∼ lng.
Exercice 18.14
x0
e f
1. Les deux suites sont définies, à termes strictement positifs. On peut montrer successivement
que u n v n pour tout n, que (u n ) n∈N est croissante et (v n ) n∈N décroissante. On a
donc, pour tout n ∈ N,
u 0 u n v n v 0 .
Les deux suites sont bornés et monotones donc elles convergent vers l et l ′ respectivement.
Par passage à la limite dans la première relation, on obtient l = l + l′
et donc l ′ = l.
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