CorrigÃ© des exercices - Dunod

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118 12. C’est vrai pour ⎛ n = 1 en posant ⎞ α 1 = 1. Supposons que pour un n fixé il existe un réel 1 0 0 α n tel que T n = ⎝ 0 2 n α n ⎠, alors 0 0 2 n ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 0 0 1 0 0 1 0 0 T n+1 = TT n = ⎝ 0 2 1 ⎠ ⎝ 0 2 n α n ⎠ = ⎝ 0 2 n+1 2α n + 2 n ⎠ 0 0 2 0 0 2 n 0 0 2 n+1 ⎛ ⎞ 1 0 0 Et donc si l’on pose α n+1 = 2α n + 2 n , on a T n+1 = ⎝ 0 2 n+1 α n+1 ⎠. La suite (a n ) 0 0 2 n+1 définie par a 1 = 1 et a n+1 = 2α n + 2 n répond donc à la question. 13. Pour n = 1, on a bien α 1 = 1 = 1 × 2 0 . Supposons qu’à un certain rang n, α n = n2 n−1 , alors α n+1 = 2α n + 2 n = 2n2 n−1 + 2 n = n2 n + 2 n = (n + 1)2 n . Nous avons donc prouvé par récurrence que pour tout n ∈ N ∗ , α n = n2 n−1 . On en déduit que A n = PT ⎛ n P −1 ⎞ ⎛ 1 2 1 = ⎝ 1 1 1 ⎠ ⎝ 0 0 1 ⎛ ⎞ ⎛ 1 2 1 = ⎝ 1 1 1 ⎠ ⎝ 0 ⎛ 0 1 = ⎝ 1 0 0 ⎞ 0 2 n n2 n−1 ⎠ ⎛ ⎝ −1 2 −1 ⎞ 2 n −2 n n2 n−1 ⎠ −1 2 −1 1 −1 0 0 0 1 ⎞ −1 + 2 n+1 2 − 2 n+1 −1 + (n + 1)2 n −1 + 2 n 2 − 2 n −1 + (n + 2)2 n−1 ⎠ Matrices commutant avec A 14. Par définition C(A) est bien un sous-ensemble de M 3 (R). C(A) est non vide puisqu’il contient la matrice nulle (0A = A0 = 0). Soient M,N ∈ C(A) et λ,µ deux réels, on a (λM + µN)A = λMA + µNA = λAM + µAN = A(λM) + B(µN) = A(λM + µN) Et donc λM + µN ∈ C(A). C(A) est un sous-espace vectoriel de M 3 (R). 15. Supposons que l’on ait AM = MA. On alors PTP −1 M = MPTP −1 . En multipliant cette relation par P −1 à gauche et P à droite, il vient TP −1 MP = P −1 MPT, soit TM ′ = M ′ T. Réciproquement si TM ′ = M ′ T, alors TP −1 MP = P −1 MPT. En multipliant cette relation par P à gauche et P −1 à droite il vient PTP −1 M = MPTP −1 , c’est-à-dire AM = MA. ⎛ 16. Soit M ′ = ⎝ si ⎛ ⎝ a b c d e f g h i 1 0 0 0 2 1 0 0 2 ⎞ ⎠ une matrice de M ∋ (R). M ′ vérifie TM ′ = M ′ T si et seulement ⎞ ⎛ ⎠ ⎝ a b c d e f g h i ⎞ ⎛ ⎠ = ⎝ a b c d e f g h i ⎞ ⎛ ⎠ ⎝ 1 0 0 0 2 1 0 0 2 ⎞ ⎞ ⎠ ⎠
119 c’est-à-dire ⎛ ⎝ a b c 2d + g 2e + h 2f + i 2g 2h 2i ⎞ ⎛ ⎠ = ⎝ a 2b b + 2c d 2e e + 2f g 2h h + 2i ⎞ ⎠ Ce qui équivaut au système ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ a = a b = 2b c = b + 2c 2d + g = d 2e + h = 2e 2f + i = e + 2f 2g = g 2h = 2h 2i = h + 2i ⎧ ⎪⎨ ⇔ ⎪⎩ b = 0 c = 0 d + g = 0 h = 0 i = e g = 0 h = 0 ⇔ b = c = d = g = h = 0, e = i, a,f ∈ R ⎛ M ′ est donc solution de TM ′ = M ′ T si et seulement si elle est de la forme ⎝ où a,e,f ∈ R. a 0 0 0 e f 0 0 e 17. D’après ce qui précède une matrice M appartient à C(A) si et seulement si TM ′ = M ′ T où M ′ = P −1 MP. Donc M appartient à C(A) si et seulement s’il existe trois réels a,b,c tels que ⎛ P −1 MP = ⎝ a 0 0 0 b c 0 0 b autrement dit si et seulement s’il existe trois réels a,b,c tels que ⎞ ⎠ ⎞ ⎠ ⎛ M = P ⎝ = = = ⎛ ⎝ ⎛ ⎝ ⎛ ⎝ a 0 0 0 b c 0 0 b 1 2 1 1 1 1 0 0 1 1 2 1 1 1 1 0 0 1 ⎞ ⎞ ⎛ ⎠ ⎝ ⎞ ⎛ ⎠ ⎝ ⎠ P −1 a 0 0 0 b c 0 0 b ⎞ ⎛ ⎠ ⎝ −a 2a −a b −b c 0 0 b −1 2 −1 1 −1 0 0 0 1 ⎞ ⎠ −a + 2b 2a − 2b −a + b + 2c −a + b 2a − b −a + b + c 0 0 b ⎞ ⎠ ⎞ ⎠
Page 1:
Corrigé des exercices 1
Page 4 and 5:
4 P Q 9 10 11 12 13 14 15 16 V V F
Page 6 and 7:
6 Dans tous les cas, un élément q
Page 8 and 9:
8 2. f(A) = {1}; 3. f(A) = [0,2];
Page 10 and 11:
10 l’hypothèse, g ◦f ne serait
Page 12 and 13:
12 2. f est une bijection de R \ f
Page 14 and 15:
14 Exercice 5.6 1. Considérons la
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16 3. En appliquant ce qui précèd
Page 18 and 19:
18 façon que n = 4a+9b. Considéro
Page 20 and 21:
20 D’autre part, (1 −a n )(1
Page 22 and 23:
22 Chapitre 6 Exercice 6.1 Nous ne
Page 24 and 25:
24 Exercice 6.8 1. Soit a un comple
Page 26 and 27:
26 fait) que a ∈ [2 − √ 3,2+
Page 28 and 29:
28 n−1 ∑ 2. Si ω p = 1, alors
Page 30 and 31:
30 Exercice 6.27 On pose Z = z n .
Page 32 and 33:
32 z 3 = 1 2 ⎛ ⎝− 1 − √ 5
Page 34 and 35:
34 2. z 4 + 4z 3 + 4z 2 + 1 = z 2 (
Page 36 and 37:
36 2. On calcule Q(1) = 0, puis, av
Page 38 and 39:
38 Exercice 7.23 Si a est une racin
Page 40 and 41:
40 Exercice 7.28 1. Posons Y = X +
Page 42 and 43:
42 Exercice 8.4 La relation bien co
Page 44 and 45:
44 • Pour n = 0, la propriété d
Page 46 and 47:
46 Exercice 8.18 1. a) Pour tout en
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48 e) Chaque rangement de p boules
Page 50 and 51:
50 3. Il faut ici d’abord réalis
Page 52 and 53:
52 Soient f,g deux fonctions de A e
Page 54 and 55:
54 Exercice 9.6 Soient a,b,c trois
Page 56 and 57:
56 Exercice 9.10 1. Comme (−3,
Page 58 and 59:
58 Exercice 9.14 Pour tout réel x
Page 60 and 61:
60 Exercice 9.18 1. Si f était dé
Page 62 and 63:
62 Exercice 9.24 1. Par définition
Page 64 and 65:
64 6. Soient f,g ∈ E et λ,µ deu
Page 66 and 67:
66 3. On sait que l’image par f d
Page 68 and 69: 68 f est une application linéaire.
Page 70 and 71: 70 Exercice 10.13 1. Montrons d’a
Page 72 and 73: 72 2. a) Nous avons d’une part f(
Page 74 and 75: 74 Exercice 11.3 Soit y ∈ Im(u+v)
Page 76 and 77: 76 Or il est clair que Im(h) = Im(g
Page 78 and 79: 78 Exercice 11.11 1. Tout d’abord
Page 80 and 81: 80 Exercice 11.12 1. On a T(X) = (X
Page 82 and 83: 82 Exercice 12.2 1. Soient A,B ∈
Page 84 and 85: 84 De même (0,1) = a(1, −1)+b(2,
Page 86 and 87: 86 4. Au rang 1, un endomorphisme n
Page 88 and 89: 88 3. Avec les mêmes notations, on
Page 90 and 91: 90 Exercice 12.14 1. L’image par
Page 92 and 93: 92 4. On inverse la matrice de f da
Page 94 and 95: 94 ⎛ → ⎜ ⎝ 2 −2 1 −5 3
Page 96 and 97: 96 soit n−1 ∑ L n : x 1 + x n +
Page 98 and 99: 98 En effectuant à nouveau les op
Page 100 and 101: 100 2. Une équation de E −2 est
Page 102 and 103: 102 3. λ est valeur propre si et s
Page 104 and 105: 104 D’où E 0 = Vect(−1,0,1). U
Page 106 and 107: 106 D’où E −1 = Vect(1,2,2). D
Page 108 and 109: 108 1 er cas λ = −2 On obtient a
Page 110 and 111: 110 Exercice 14.8 1. On triangule l
Page 112 and 113: 112 4. a) On voit que ⎛ ⎝ c’e
Page 114 and 115: 114 b) Avec une telle hypothèse su
Page 116 and 117: 116 b) On a donc M = (a − c)PIP
Page 120 and 121: 120 18. On a donc ⎧⎛ ⎨ C(A) =
Page 122 and 123: 122 Exercice 15.4 On a Si a > b, on
Page 124 and 125: 124 Si (v n ) n∈N converge vers 0
Page 126 and 127: 126 2. On a, pour n 1, lnu n = n
Page 128 and 129: 128 En mettant en facteur √ 2, on
Page 130 and 131: 130 2. On remarque que, pour tout n
Page 132 and 133: 132 Exercice 15.23 1. On a, pour to
Page 134 and 135: 134 Exercice 15.26 La suite (u n )
Page 136 and 137: 136 On remarque que et on obtient (
Page 138 and 139: 138 3. On déduit de la question 2
Page 140 and 141: 140 x 1 1 1 . On a donc inf A et
Page 142 and 143: 142 3. Notons p = Ent(nx) et effect
Page 144 and 145: 144 5. En multipliant par l’expre
Page 146 and 147: 146 Exercice 16.6 On note que, pour
Page 148 and 149: 148 2. Soit x 0 ∈ R + et ε > 0.
Page 150 and 151: 150 Exercice 16.15 1. On a, pour to
Page 152 and 153: 152 2. Pour tout n ∈ N, u n − v
Page 154 and 155: 154 On en déduit que u n √ k = e
Page 156 and 157: 156 3. Pour n n 0 , on a v n+2 = |
Page 158 and 159: 158 u 0 = 1 − 1 n , avec n ∈ N
Page 160 and 161: 160 Si u 0 ∈ I 4 , la suite (u n
Page 162 and 163: 162 Exercice 17.22 1. La fonction g
Page 164 and 165: 164 b) La fonction f est décroissa
Page 166 and 167: 166 et g(x) − x = (r + x2 ) 2 (1
Page 168 and 169:
168 Exercice 17.29 1. La fonction g
Page 170 and 171:
170 3. On étudie (x x ) x x xx De
Page 172 and 173:
172 2. Puisque lim 2sin x = 1, on p
Page 174 and 175:
174 Exercice 18.9 On compare la som
Page 176 and 177:
176 On remarque que, pour tout enti
Page 178 and 179:
178 On en déduit que nécessaireme
Page 180 and 181:
180 3. Comme u n tend vers +∞, e
Page 182 and 183:
182 4. On raisonne comme dans 3. En
Page 184 and 185:
184 3. Pour n assez grand, on a nm
Page 186 and 187:
186 Si g n’est pas strictement po
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188 On en déduit que lim |f(x)| =
Page 190 and 191:
190 Pour tout y ∈] − 1,1[, y =
Page 192 and 193:
192 5. On obtient : 0 arctan x < a
Page 194 and 195:
194 2. La réciproque est fausse. S
Page 196 and 197:
196 Pour le produit, on prend le lo
Page 198 and 199:
198 Exercice 20.13 1. Si g(b) = g(a
Page 200 and 201:
200 2. On procède comme dans la qu
Page 202 and 203:
202 3. On a, pour tout réel x, f
Page 204 and 205:
204 On obtient g ′ (x) = (c−x)(
Page 206 and 207:
206 2. Soit f définie sur ] 0, π
Page 208 and 209:
208 La fonction g α ′ s’annule
Page 210 and 211:
210 Ainsi, si x < 0, f ′ (x) =
Page 212 and 213:
212 n−2 ∑ Posons P n (x) = a k
Page 214 and 215:
214 ce qui montre que la propriét
Page 216 and 217:
216 ce qui est possible car x 0 n
Page 218 and 219:
218 Exercice 20.43 1. La dérivée
Page 220 and 221:
220 Chapitre 21 Exercice 21.1 1. On
Page 222 and 223:
222 car e it ne peut pas être éga
Page 224 and 225:
224 Ceci montre que la différence
Page 226 and 227:
226 4. D’après la démonstration
Page 228 and 229:
228 Exercice 21.13 La fonction f s
Page 230 and 231:
230 4. Supposons que f tend vers +
Page 232 and 233:
232 Exercice 21.18 1. Si M = 0, la
Page 234 and 235:
234 Exercice 21.21 1. • Notons qu
Page 236 and 237:
236 Comme, par positivité de l’i
Page 238 and 239:
238 Si la propriété est vérifié
Page 240 and 241:
240 1 est une primitive de x ↦−
Page 242 and 243:
242 ] b) Pour tout x ∈ − π 2 ,
Page 244 and 245:
244 Exercice 22.13 1. a) Pour n ∈
Page 246 and 247:
246 Exercice 22.15 Pour x > 0, on f
Page 248 and 249:
248 c) Supposons que l > 0. On a pa
Page 250 and 251:
250 La fonction f est donc décrois
Page 252 and 253:
252 H de h sur ]0,1[ ou ]1,+∞[ et
Page 254 and 255:
254 c) Notons k le prolongement con
Page 256 and 257:
256 3. On applique la formule de Ta
Page 258 and 259:
258 |x| n 2. On montre comme dans l
Page 260 and 261:
260 De même, f ′ est C 1 donc On
Page 262 and 263:
262 3. On écrit l’inégalité de
Page 264 and 265:
264 On observe que si x ∈ [0,1] e
Page 266 and 267:
266 Comme lim f(x) = l, on a égale
Page 268 and 269:
268 Exercice 23.19 1. Comme f est d
Page 270 and 271:
270 b) On obtient, pour tous réels
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272 ( ) 4. On écrit (1 + 2x) 1 1+x
Page 274 and 275:
274 2. En posant x = π + h, on obt
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276 2. On détermine un développem
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278 Exercice 24.6 1. On écrit des
Page 280 and 281:
280 3. On écrit ( 1 + n) 1 n ( ( =
Page 282 and 283:
282 n∑ x k La fonction x ↦−
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284 On obtient en sommant des relat
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286 3. On suppose x > 0. D’après
Page 288 and 289:
288 Puisque g est décroissante sur
Page 290 and 291:
290 Le signe de ϕ ′ (t) est celu
Page 292 and 293:
292 Le développement limité de x
Page 294 and 295:
294 Si on pose v n = ln n + 1 n , o
Page 296 and 297:
296 2. On note S n la somme partiel
Page 298 and 299:
298 ( ) 1−α m − 1 Quand m tend
Page 300 and 301:
300 b) La suite (R n ) n∈N est à
Page 302 and 303:
302 Exercice 25.9 1. On intègre pa
Page 304 and 305:
304 Exercice 25.10 1. On obtient, e
Page 306 and 307:
306 On reconnaît une somme de Riem
Page 308 and 309:
308 La série de terme général v
Page 310 and 311:
310 et donc S = ex 1 − x . Exerci
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312 on obtient U 2 n u 0 + u 1 + 1
Page 314 and 315:
314 On applique de nouveau le résu
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316 Chapitre 26 Exercice 26.1 1. Le
Page 318 and 319:
318 donc (X,Y ) ∈ Ω 3 . Enfin,
Page 320 and 321:
320 montrent que les suites (a n )
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322 Le point (u,v) appartient donc
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324 n∑ λ i Comme = 1, l’hypoth
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326 2. On montre, comme dans la que
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328 La fonction (x,y) ↦−→ (
Page 330 and 331:
330 y, il contient c xy et on a |f
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332 Exercice 27.13 La fonction f es
Page 334 and 335:
334 Ces dérivées partielles sont
Page 336 and 337:
336 On en déduit que |f(x,y)| |xy
Page 338 and 339:
338 Exercice 28.7 Si U = (a,b) ≠
Page 340 and 341:
340 Exercice 28.11 Les fonctions so
Page 342 and 343:
342 Exercice 28.14 Sur l’ouvert
Page 344 and 345:
344 2. On fixe (x,y) ∈ R 2 . La f
Page 346 and 347:
346 3. P(E ∪ F) = P(E) + P(F) −
Page 348 and 349:
348 Exercice 29.10 1. T ( {A∪B, A
Page 350 and 351:
350 2. Procèdons par récurrence s
Page 352 and 353:
352 P R1∩···∩R n (R n+1 ) =
Page 354 and 355:
354 Or +∞ ⋃ k=1 B k = +∞ ⋃
Page 356 and 357:
356 Exercice 29.24 1. a) p 0 = 1 et
Page 358 and 359:
358 Si i = 6, ou 8 P(E i ) = 25 396
Page 360 and 361:
360 Exercice 29.30 1. M 4 = Id, Don
Page 362 and 363:
362 Exercice 30.3 ∑ Comme X est u
Page 364 and 365:
364 Donc en faisant tendre n vers +
Page 366 and 367:
366 La série de terme général k
Page 368 and 369:
368 n∑ u k = 1. k=1 Donc a n = 1
Page 370 and 371:
370 c) Remarquons que E(Y ) = 4n2 +
Page 372 and 373:
372 Exercice 30.19 1. Par définiti
Page 374 and 375:
374 µ [3] = µ [2] = +∞∑ k=1 =
Page 376 and 377:
376 ( b Ainsi Z k suit une loi de B
Page 378 and 379:
378 x f ′ 0 1 6 1 + 0 − 0 f 0 (
Page 380 and 381:
380 E(Y n ) = 1 2 = 1 2 = 1 2 + 1 2
Page 382 and 383:
382 Or 1−p p appartient à [0,1]
Page 384 and 385:
384 Exercice 30.31 1. L’événeme
Page 386 and 387:
386 Exercice 31.2 1. Pour tout enti
Page 388 and 389:
388 Soit k un entier supérieur ou
Page 390 and 391:
390 Ainsi Z − X et X ont même lo
Page 392:
392 Comme la série de terme géné
Page 395 and 396:
395 P(Y = k) = P(Y = k,X = 0) + P(Y
Page 397 and 398:
397 Donc S suit une loi de Poisson
Page 399 and 400:
n=0 P([X=n+1]∩[Y =n]) P(U=n,V =1)
Page 401 and 402:
401 Exercice 31.20 1. U(Ω) = {0,1,
Page 403 and 404:
403 Pour tout couple (i,j) d’enti
Page 405 and 406:
405 Par définition de la ⎧ covar
Page 407 and 408:
407 b) P(X < Y ) = = = +∞∑ +∞
Page 409 and 410:
Alors la suite (P(X n = N) − 1) n
Page 411 and 412:
Donc en posant p ′ = 1 2−p , X
Page 413 and 414:
413 par l’indépendance des varia
show all

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