Corrigé des exercices - Dunod

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Ces dérivées partielles sont continues sur l’ouvert R 2 \ {(0,0)}.
Pour tout y ∈ R ∗ ,
f(|x|) − f(0)
De lim
x→0 |x|
∂F
(0,0) = 0.
∂y
L’inégalité
F(x,0) − F(0,0)
x
=
f(|x|) − f(0)
x
= x
|x|
f(|x|) − f(0)
· .
|x|
= f ′ (0) = 0, on déduit ∂F (0,0) = 0. On trouve de même que
∂x
∣ ∣∣∣ ∂F
∂x (x,y) ∣ ∣∣∣
|f ′ ( √ x 2 + y 2 )|
et la continuité de f ′ ∂F
∂F
montrent que lim (x,y) = 0. La fonction est donc
(x,y)→(0,0) ∂x ∂x
continue en (0,0). Il en est de même de ∂F
∂x . La fonction F est donc de classe C1 sur R 2 .
Exercice 28.4
1. La fonction est continue en tout point différent de (0,0) et, pour (x,y) ≠ (0,0),
|f(x,y)|
|xy| |x| ‖(x,y)‖.
|x| + |y|
Ceci montre que f est continue en (0,0) donc sur R 2 .
2. La fonction f possède des dérivées partielles par rapport à x en tout point (x,y) tel que
x ≠ 0 et on trouve
∂f y cos(xy)
(x,y) = − ε sin(xy)
∂x |x| + |y| (|x| + |y|) 2 ,
où ε = ±1 selon le signe de x.
Pour y ≠ 0, on trouve
∂f f(x,y) − f(0,y) sin(xy)
(0,y) = lim
= lim
∂x x→0 x x→0 x(|x| + y|) = y
|y| .
Enfin, on a ∂f (0,0) = 0, car la fonction x ↦−→ f(x,0) est nulle.
∂x
On trouve des résultats analogues pour ∂f . Ainsi f possède des dérivées partielles en tout
∂y
point de R 2 .
3. On remarque que, pour tout (x,y) ≠ (0,0), on a, avec les notations précédentes,
∂f y cos(xy)
(x,y) = − ε sin(xy)
∂x |x| + |y| (|x| + |y|) 2 .
La fonction ∂f est continue sur les ouverts définies par x > 0 et x < 0 d’après les théorèmes
∂x
usuels. On a, de plus, pour y 0 ≠ 0,
∂f
lim
(x,y)→(0,y 0) ∂x (x,y) = y 0
|y 0 | = ∂f
∂x (0,y 0).