Corrigé des exercices - Dunod

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1. Pour (x,y) ≠ (0,0), on a
|f(x,y)| x2 |y|
x 2 |y| ‖(x,y)‖.
+ y2 Cette inégalité reste vérifiée en (0,0). On a donc
∀(x,y) ∈ R 2 |f(x,y) − f(0,0)| ‖(x,y)‖,
ce qui montre la continuité de f en (0,0). En effet, pour ε > 0, pour obtenir |f(x,y)−f(0,0)| ε,
il suffit de prendre ‖(x,y)‖ ε.
2. Pour (x,y) ≠ (0,0), on a
et on conclut comme dans la question 1.
3. Pour (x,y) ≠ (0,0), on a
et on conclut comme dans la question 1.
4. On a, pour tout x ≠ 0,
|f(x,y)| |y| ‖(x,y)‖
|f(x,y)| |x|3 y 2
(x 2 + y 2 ) 2 ‖(x,y)‖5
‖(x,y)‖ 4 ‖(x,y)‖
f(x,x) = ex2 − 1
2x 2 .
e x2 − 1
On sait que lim
x→0 2x 2 = 1 2 exp′ (0) = 1 . On en conclut que f n’est pas continue en (0,0)
2
car sinon, par le théorème de composition, on aurait
lim f(x,x) = f(0,0).
x→0
Exercice 27.2
1. La restriction (x,y) ↦−→ y sin x y
de f aux ouverts
Ω 1 = {(x,y) ∈ R 2 , y > 0} et Ω 2 = {(x,y) ∈ R 2 , y < 0}
est continue sur Ω 1 et Ω 2 par composition de fonctions continues usuelles. Ceci assure la
continuité de f en tout (x 0 ,y 0 ) tel que y 0 ≠ 0.
Reste à étudier la continuité en (x 0 ,0) pour tout réel x 0 . On observe que, pour tout
(x,y) ∈ R 2 ,
|f(x,y)| |y| et donc |f(x,y) − f(x 0 ,0)| |y| ‖(x,y) − (x 0 ,0)‖,
ce qui montre la continuité de f en (x 0 ,0). La fonction f est continue sur R 2 .