Corrigé des exercices - Dunod

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Exercice 20.43
1. La dérivée seconde de f : x ↦−→ ln(1 + e x ) est f ′′ : x ↦−→ ex
(e x . Elle est positive donc
+ 1)
2
f est convexe.
Soit x 1 ,. . . , x n dans R ∗ +, y 1 ,. . . , y n des réels tels que x k = e y k
pour 1 k n. Par
convexité de f, on obtient ( )
1
n∑
f y k 1 n∑
f(y k ).
n n
k=1
k=1
On simplifie chaque terme :
( ) ( (
1
n∑
1
f y k = ln 1 + exp
n
n
1
n
n∑
f(y k ) = 1 n
k=1
k=1
)) ⎛ (
n∑
∏ n
y k = ln ⎝1 +
k=1
(
n∑
∏ n
ln(1 + x k ) = ln (1 + x k )
k=1
k=1
Le logarithme étant une fonction croissante, on obtient l’inégalité
( n
) 1 (
n
∏
n
) 1
n
∏
1 + x k (1 + x k ) .
k=1
2. On applique l’inégalité de la question 1 aux réels x k = a k
b k
. On obtient
1 +
( n
∏
k=1
k=1
) 1
n
) 1 (
n
a k
∏ n (
1 + a ) ) 1 n
k
.
b k b k
k=1
( n
) 1/n
∏
En multipliant par b k , on obtient l’inégalité voulue.
Exercice 20.44
k=1
k=1
.
) 1
⎞
n
x k
⎠ ,
1. On a 1 p = 1 − 1 q < 1 et donc p > 1. La fonction f : x ↦−→ xp est convexe sur R ∗ +, car
f ′′ (x) = p(p − 1)x p−2 > 0, pour tout x > 0.
n∑
2. On vérifie que λ k = 1 et on utilise l’inégalité de convexité
On a
k=1
n∑
λ k x k =
k=1
n∑
a k b k
k=1
n∑
i=1
b q i
( n
)
∑
f λ k x k
k=1
et
n∑
λ k f(x k ).
k=1
n∑
λ k f(x k ) =
k=1
n∑
k=1
b q k ap k bp(1−q) k
n∑
i=1
b q i
=
n∑
k=1
n∑
i=1
a p b
b q i
,