Corrigé des exercices - Dunod

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2. On remarque que, pour tout n ∈ N ∗ ,
(
v n − l = 1 n∑
u k − l = 1 n
)
∑
u k − nl = 1 n n
n
k=1
k=1
n∑
(u k − l).
Si la suite (u n ) n∈N ∗ converge vers l, la suite (u n −l) n∈N ∗ converge vers 0. L’égalité démontrée
et la question 1 permettent de conclure que la suite (v n − l) n∈N ∗ converge également vers 0
et donc que la suite (v n ) n∈N ∗ converge vers l.
3. Supposons que la suite (u n ) n∈N ∗ diverge vers +∞. Soit A > 0. Par définition, il existe un
entier n 0 tel que u n A pour tout n n 0 . Pour n n 0 , on peut écrire
v n = 1 n
n∑
u k 1 ∑n 0
u k + 1 n n
k=1
k=1
(
1
L’entier n 0 étant fixé, on a lim
n→+∞ n
∑n 0
k=1
n∑
k=n 0+1
A 1 n
u k + n − n 0
A
n
on peut donc trouver un entier n 1 tel que, pour tout n n 1
On a alors
1
n
∑n 0
k=1
)
u k + n − n 0
A A n 2 .
∀n max(n 0 ,n 1 ) v n A 2 ,
∑n 0
k=1
k=1
u k + n − n 0
A.
n
= A et, par définition de la limite,
ce qui montre, puisque A est un réel strictement positif quelconque, que lim
n→+∞ v n = +∞.
Si la suite u diverge vers −∞, la suite −u diverge vers +∞. On applique ce qui précède à
la suite −u. On obtient que −v diverge vers +∞ et donc que v diverge vers −∞.
Exercice 15.21
On a, pour tout n 1,
ln
( n
∏
k=1
u k
) 1
n
= 1 n
n∑
lnu k .
On applique le résultat de l’exercice ?? à la suite (lnu n ) n∈N ∗.
Si b > 0, la suite (lnu n ) n∈N ∗ converge vers ln b, d’après le théorème de composition des
( n
) 1
n
∏
limites. On en déduit que la suite de terme général ln u k converge vers ln b. On
obtient toujours d’après le théorème de composition des limites que la suite de terme général
(
∏ n
) 1
n
u k converge vers exp(ln b) = b.
k=1
Si b = 0, la suite (lnu n ) n∈N ∗ diverge vers −∞. On en déduit que la suite de terme général
( n
) 1
(
n
∏
n
) 1
n
∏
ln u k diverge aussi vers −∞. On obtient que la suite de terme général u k
k=1
a pour limite lim exp(x) = 0.
x→−∞
k=1
k=1
k=1