Corrigé des exercices - Dunod

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On en déduit
∫ (
b
f(t)sin ntdt
∣ a ∣ 1 |f(b)cos nb| + |f(a)cos na| +
n
(
)
et donc
1 n
|f(a)| + |f(b)| +
∫ b
lim
n→+∞
a
On démontre de la même manière que
∫ b
lim
n→+∞
a
∫ b
a
|f ′ (t)|dt
f(t)sin ntdt = 0.
f(t)cos ntdt = 0.
∫ b
a
|f ′ (t)cos nt|dt
)
Exercice 22.23
1
La fonction g : t ↦−→ √ est définie est continue sur R donc f est définie sur R.
t4 + t 2 + 1
On écrit, pour tout réel x, f(x) = G(2x) − G(x), où G est la primitive de g qui s’annule en
0. Comme g est paire, G est impaire et f également est impaire.
La fonction f est dérivable sur R et
f ′ (x) = 2g(2x) − g(x) =
Pour x > 0, on a les équivalences suivantes :
On montre de même que
2
√
16x4 + 4x 2 + 1 − 1
√
x4 + x 2 + 1 .
f ′ (x) = 0 ⇐⇒ 4(x 4 + x 2 + 1) = 16x 4 + 4x 2 + 1 ⇐⇒ x = 1 √
2
.
La fonction f est croissante sur
f ′ (x) > 0 ⇐⇒ x < 1 √
2
.
Pour calculer la limite en +∞, on remarque que, pour x > 0,
[ ]
[ [
1
1
0, √ et décroissante sur √2 ,+∞ . Elle s’annule en 0.
2
On en déduit que
0 f(x)
∫ 2x
x
1
[−
t 2 dt 1 ] 2x
= 1
t
x
2x .
lim f(x) = 0.
x→+∞
Exercice 22.24
1. Pour x ∈ ]0,1[, on a 0 < x 2 < x < 1, la fonction h = 1
ln est continue sur [x2 ,x] et f(x)
est défini. De même si x > 1, alors h est continue sur [x,x 2 ]. En considérant une primitive