Corrigé des exercices - Dunod

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Cette expression tendant vers 0, on en déduit que
( ) x ( ))
ln(x + 1)
ln(x + 1)
− 1 = exp(
xln
− 1 ∼ 1
lnx
lnx lnx
et finalement
lim
x→+∞
[( ln(x + 1)
lnx
) x
− 1]
lnx = 1.
2. On pose
(
f(x) = x 2 1 +
x) 1 x (
− ex 3 ln 1 + 1 ) ( (
= x 2 exp xln 1 + 1 )) (
− ex 3 ln 1 + 1 )
x
x
x
et on utilise le développement limité de ln(1 + x) au voisinage de 0. On obtient au voisinage
de +∞,
(
ln 1 + 1 )
= 1 x x − 1
2x 2 + 1 ( ) 1
3x 3 + o x 3 ,
( (
exp xln 1 + 1 ))
x
(
= exp
(
= e
1 − 1
2x + 1
3x 2 + o ( 1
x 2 ))
1 − 1
2x + 1
3x 2 + 1 2
(
= e 1 − 1
2x + 11 ( )) 1
24x 2 + o x 2 .
(
− 1
2x + 1 ) 2 ( ) )
1
3x 2 + o
x 2
On en déduit
f(x) = ex 2 (
1 − 1
2x + 11
24x 2 + o ( 1
x 2 ))
− ex 3 ( 1
x − 1
2x 2 + 1
3x 3 + o ( 1
x 3 ))
= e 8 + o(1)
et finalement
3. On a au voisinage de +∞,
(
ln sin 1 x + cos 1 )
x
On en déduit que
4. Comme
et donc
lim
x→+∞
1
x + 1 et 1 x
lim
x→+∞ f(x) = e 8 .
( ( 1 1
= ln
x x))
+ o = 1 ( ) 1
x + o .
x
(
sin 1 x x) + cos 1 x ( (
= lim exp xln sin 1
x→+∞ x + cos 1 ))
= e.
x
x 2 ( e 1 x − e
1
x+1
tendent vers 0, on obtient au voisinage de +∞,
)
( ) (
= x 2 e 1
x+1 e 1 x − 1
x+1
1
− 1 ∼ x 2 x − 1 )
∼ 1
x + 1
( )
lim
x→+∞ x2 e 1 1
x − e x+1 = 1.