Corrigé des exercices - Dunod

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car e −x x n+1 tend vers 0. Comme e −x = 1 + o(x), on en déduit
f(x) = x −
qui est le développement limité cherché.
Exercice 24.13
xn+1
(n + 1)! + o(xn+1 ),
1. Montrons que, pour tout entier n ∈ N, f n est définie sur [−1,1] et f n ([−1,1]) ⊂ [0,2]. On
raisonne par récurrence.
C’est vrai pour n = 0, car l’ensemble de définition de f 0 est ] − ∞,1] et f 0 ([−1,1]) = [0, √ 2].
Si f n vérifie l’hypothèse de récurrence alors, pour tout x ∈ [−1,1], on a f n (x) ∈ [0,2] donc
2 − f n (x) 0 et on peut définir f n+1 (x) en posant f n+1 (x) = √ 2 − f n (x). De plus, comme
f n prend des valeurs positives sur [−1,1], on a, pour x ∈ [−1,1],
et la propriété est démontrée.
0 f n+1 (x) √ 2 2
2. On montre, encore par récurrence sur n, que pour tout n ∈ N, la fonction f n qui est définie
au voisinage de 0 possède un développement limité d’ordre 2. On remarque que f 0 (0) = 1 et
que si f n (0) = 1 alors f n+1 (0) = 1 donc ceci est vrai pour tout n. Cette remarque fournira
le premier coefficient du développement limité.
La fonction f 0 possède un développement limité d’ordre 2 au voisinage de 0. C’est du cours :
f 0 (x) = 1 − 1 2 x − 1 8 x2 + o(x 2 ).
Supposons que f n possède un en 0 d’ordre 2. Comme f n (0) = 1 et que la fonction
x ↦−→ √ 2 − x possède un développement limité d’ordre 2 en 1 (elle est C ∞ ), il en est de
même de la composée f n+1 .
Si f n (x) = 1 + a n x + b n x 2 + o(x 2 ), alors
f n+1 (x) = √ 1 − a n x − b n x 2 + o(x 2 ) = 1 − 1 2 (a nx + b n x 2 ) − 1 8 a2 nx 2 + o(x 2 )
= 1 − 1 (
2 a nx + − 1 2 b n − 1 )
8 a2 n x 2 + o(x 2 ).
La fonction f n possède, pour tout n, un développement limité au voisinage de 0 dont les
coefficients vérifient la relation de récurrence
a n+1 = − 1 2 a n et b n+1 = − 1 2 b n − 1 8 a2 n.
La suite (a n ) n∈N est géométrique de raison − 1 2 , donc a n =
La relation vérifiée par (b n ) n∈N peut s’écrire
(
− 1 2) n+1
, puisque a 0 = − 1 2 .
(−2) n+1 b n+1 = (−2) n b n − (−2) n+1 a2 n
8 = (−2)n b n − 1 (
− 1 n+1
.
8 2)