Corrigé des exercices - Dunod

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2. On résout le système
⎧
−3x + y + z + t = 0
⎪⎨
x − 3y + z + t = 0
x + y − 3z + t = 0
⎪⎩
x + y + z − 3t = 0
⎧
⎪⎨
⇔
⎪⎩
⎧
⎪⎨
⇔
⎪⎩
⎧
⎪⎨
⇔
⎪⎩
3x + y + z + t = 0
−2y + z + t = 0
y − 2z + t = 0
y + z − 2t = 0
3x + y + z + t = 0
−2y + z + t = 0
−3z + 3t = 0
3z − 3t = 0
3x + y + z + t = 0
−8y + 4z + 4t = 0
4y − 8z + 4t = 0
4y + 4z − 8t = 0
L 2 ← 3L 2 + L 1
L 3 ← 3L 3 + L 1
L 4 ← 3L 4 + L 1
L 3 ← 2L 3 + L 2
L 4 ← 24L 4 + L 2
⎧
⎨
⇔
⎩
L 2 ← 3L 2 + L 1
L 3 ← 3L 3 + L 1
L 4 ← 3L 4 + L 1
x = t
y = t
z = t
On en déduit que la famille ((1,1,1,1)) est génératrice du sous-espace proposé. Cette famille
étant composée d’un vecteur non nul, c’est une base du sous-espace.
3. On résout le système
⎧
x + 3y + 2z = 0
⎪⎨
3x + 10y + 5z + t = 0
2x + 5y + 5z − t = 0
⎪⎩
y − z + t = 0
⎧
⎪⎨
⇔
⎪⎩
x + 3y + 2z = 0
y − z + t = 0
−y + z − t = 0
y − z + t = 0
L 2 ← L 2 − 3L 1
L 3 ← L 3 − 2L 1
{ {
x + 3y + 2z = 0 x = −5z + 3t
⇔
y − z + t = 0 ⇔ y = z − t
Une famille génératrice est donc par exemple ((−5,1,1,0),(3, −1,0,1)). Ces deux vecteurs
n’étant pas colinéaires ils forment une base du sous-espace donné.
Exercice 9.9
Soient a,b,c trois réels tels que pour tout n ∈ N, on ait
au n + bv n + cw n = 0
Alors en écrivant l’égalité avec n = 0,1,2, on voit que a,b,c sont les solutions d’un système
linéaire homogène que l’on résout
⎧
⎧
⎨
⎨
⎩
a + b + c = 0
2a + 3b + 4c = 0
4a + 9b + 16c = 0
⎧
⎨
⇔
⎩
⇔
⎩
a + b + c = 0
b + 2c = 0
7b + 12c = 0
L 2 ← L 2 − 2L 1
L 3 ← L 3 − 4L 1
a + b + c = 0
b + 2c = 0
⇔ a = b = c = 0
−2c = 0 L 3 ← L 3 − 7L 2
La famille ((u n ),(v n ),(w n )) est donc bien une famille libre.