Corrigé des exercices - Dunod

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Exercice 25.9
1. On intègre par parties deux fois. On obtient
∫ π
( ) [( ) ] π 1
1 sinnt
0 2π t2 − t cos ntdt =
2π t2 − t −
n
0
} {{ }
2. On rappelle la formule de trigonométrie
=0
∫ π
0
( 1
π t − 1 ) sin nt
n
[( ) ] π ∫ 1 cos nt π
=
π t − 1 cos nt
n 2 −
0 0 πn 2 dt
= 1 [ ] π sin nt
n 2 − πn 3 = 1
0
n 2 .
2sin acos b = sin(a + b) + sin(a − b).
dt
En multipliant la somme par 2sin t 2
et utilisant cette formule, on obtient
2sin t 2
N∑
cos nt =
n=1
=
=
N∑
( (
sin nt + t ) (
+ sin −nt + t ))
2
2
n=1
N∑
( (
sin nt + t ) (
− sin (n − 1)t + t ))
2
2
n=1
N∑
(
sin nt + t ) N−1
∑
(
− sin nt + t ) (
= sin Nt + t )
− sin t 2
2
2 2
n=1
n=0
= sin Nt cos t 2 + sin t 2 cos Nt − sin t 2 .
Pour t ∈ ]0,π], on peut diviser par 2sin t 2
qui n’est pas nul et on obtient la formule voulue
N∑
cos nt = 1 2 sinNt cot t 2 + 1 2 cos Nt − 1 2 .
n=1
3. Cette question constitue l’exercice 22 du chapitre Intégrales et primitives.
4. D’après la question 1, on a, pour N ∈ N ∗ ,
N∑
n=1
D’autre part, pour tout t ∈ ]0,π],
∫
1 π
n 2 =
0
( ) 1 ∑ N
2π t2 − t cos ntdt.
n=1
( ) 1 ∑ N
2π t2 − t cos nt = 1 ( ) 1
2 2π t2 − t cot t 2 sinNt
n=1
+ 1 ( ) 1
2 2π t2 − t cos Nt − 1 ( ) 1
2 2π t2 − t .