Corrigé des exercices - Dunod

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D’où E −1 = Vect(1,2,2).
De même, une équation de E 1 est A(1)X = 0, soit
{
−6x + 6y − 5z = 0
−2z = 0 ⇔ {
x = y
z = 0
D’où E −1 = Vect(1,1,0).
Enfin, une équation de E 2 est A(2)X = 0, soit
{ { −6x + 6y − 6z = 0 x = 0
−y + z = 0 ⇔ y = z
D’où E 2 = Vect(0,1,1).
11. On triangule A − λI
⎛
1 − λ −2 2
⎞ ⎛
−2 −2
⎞
5 − λ L 1 ↔ L 3
⎝ −2 1 − λ 2 ⎠ → ⎝ −2 1 − λ 2 ⎠
−2 −2 5 − λ 1 − λ −2 2
⎛
−2 −2 5 − λ
⎞
→ ⎝ 0 3 − λ λ − 3 ⎠ L 2 ← L 2 − L 1
0 −6 + 2λ λ 2 − 6λ + 9 L 3 ← 2L 3 + (1 − λ)L 1
⎛
→ A(λ) = ⎝
−2 −2 5 − λ
0 3 − λ λ − 3
0 0 λ 2 − 4λ + 3
⎞
⎠
L 3 ← L 3 + 2L 2
Les valeurs propres sont donc les solutions de l’équation (3 − λ)(λ 2 − 4λ + 3). Un première
valeur propre est 3. Les autres sont les racines du trinôme λ 2 − 4λ + 3 dont 1 est une racine
évidente et 3 est l’autre racine. La matrice possède donc deux valeurs propres 1 et 3.
Une équation de E 1 est A(1)X = 0, soit
{ {
−2x − 2y + 4z = 0 x = z
2y − 2z = 0 ⇔ y = z
D’où E 1 = Vect(1,1,1).
De même une équation de E 3 est A(3)X = 0, soit
D’où E 3 = Vect((1,0,1),(0,1,1)).
Exercice 14.5
−2x − 2y + 2z = 0 ⇔ z = x + y
1. λ est valeur propre si et seulement si (7 − λ)(1 − λ) + 8 = 0 soit λ 2 − 8λ + 15 = 0. On
résout
∆ ′ = 16 − 15 = 1, λ 1 = 4 − 1 = 3, λ 2 = 4 + 1 = 5
A a pour valeurs propres 3 et 5.
Une équation de E 3 est { 4x + 2y = 0
−4x − 2y = 0 ⇔ y = −2x