Corrigé des exercices - Dunod

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Exercice 29.10
1. T ( {A∪B, A∩B} ) = {∅,A∪B, A∩B, A∩B, A∪B, (A∩B)∪(A∩B), (A∪B)∩(A∪B), Ω}.
2. T ( {A ∪ B, A ∩ B} ) = {∅,A ∪ B, A ∩ B,Ω}.
3. T ( A ∩ B, A ∩ B ) = T ( {A ∪ B, A ∩ B} ) .
Exercice 29.11
1. Comme les boules sont indiscernables au toucher, nous munirons l’univers Ω, l’ensemble
des parties à n éléments de [1,n], de la tribu grossière et de la probabilité uniforme.
Notons E k l’événement «tous les numéros tirés sont inférieurs ou égaux à k». P(E k ) = Card(E k)
Et Card(E k ) =
( (
k N
, Card(Ω) = . Donc P(E
n)
n)
k ) =
2. Notons F k l’événement «le plus grand des numéros tirés est égal à k».
F k = E k \E k−1 alors P(F k ) = P(E k ) − P(E k−1 ).
⎛
⎝ k − 1
⎞
⎠
n − 1
Donc P(F k ) = ⎛ ⎞ .
⎝ N n
⎠
3. La famille (F n ,F n+1 , · · · ,F N
(
) est un
)
système
(
complet d’événements.
∑
Donc N ∑
P(F k ) = 1, alors N k − 1 N
= .
n − 1 n)
k=n
Exercice 29.12
k=n
⎛
⎝ k n
⎛
⎝ N n
⎞
⎠
⎞
⎠
.
Card(Ω) .
1. Comme les boules sont tirées au hasard dans l’urne, l’univers Ω, l’ensemble des permutations
de [1,n], est muni de la tribu grossière et de la probabilité uniforme.
Déterminons alors le cardinal de A i . A i est l’ensemble de permutations fixant i. Donc
Card(A i ) = (n − 1)!.
Alors P(A i ) = 1 n .
L’ensemble A i ∩ A j est l’ensemble des permutations dont i et j sont des points invariants.
Donc Card(A i ∩ A j ) = (n − 2)!.
Ainsi P(A i ∩ A j ) = 1
n(n−1) .
A i1 ∩ · · · ∩ A ip est l’ensemble des permutations fixant les p points i p . Donc
Ainsi P(A i1 ∩ · · · ∩ A ip ) = (n−p)!
n!
.
Card(A i1 ∩ · · · ∩ A ip ) = (n − p)!
2. Notons E l’événement «il n’y a aucune rencontre». E = A 1 ∩ A 2 ∩ · · · ∩ A n , et
E = A 1 ∪ A 2 ∪ · · · ∪ A n .
Donc P(E) = 1 − P(A 1 ∪ A 2 ∪ · · · ∪ A n ).