Corrigé des exercices - Dunod

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n−1
∑
( n
c’est à dire de l’équation X
k)
n−1−k = 0.
k=0
Le produit des racines de cette équation vaut : (−1) n−1( n
n−1)
= n(−1) n−1 .
On peut conclure
Exercice 7.25
n−1
∏
k=1
sin kπ n = (−1)n−1
2 n−1 n(−1) n−1 = n
2 n−1 .
On a s 1 = a + b + c = 1;s 2 = ab + bc + ca = 4,s 3 = abc = −1.
Posons S = a 3 b + a 3 c + b 3 a + b 3 c + c 3 a + c 3 b
Calculons alors (a 2 + b 2 + c 2 )(ab + bc + ca) = S + abc(a + b + c)
Comme d’autre part (a 2 + b 2 + c 2 ) = (a + b + c) 2 − 2(ab + bc + ca), on en déduit que
S = (s 2 1 − 2s 2 ) s 2 − s 1 s 3 = −27
Exercice 7.26
On a : a+b+c = 0,ab+bc+ca = −5,abc = −m. Compte tenu de l’hypothèse, et en posant
s = a + b,p = ab, avec s = 2p on en déduit : c = −s = −2p,p + cs = p − s 2 = p − 4p 2 = −5.
p est solution de l’équation du second degré 4p 2 − p − 5 = 0. Il y a donc deux possibilités.
• Si p = −1, alors s = −2,c = 2 et m = pc = 2. L’équation s’écrit alors
x 3 − 5x + 2 = (x − 2)(x 2 + 2x − 1) = (x − 2)((x 2 + 2x + 1) − 2)
dont les racines sont apparentes.
• Si p = 5 4 , alors s = 5 2 , c = −5 −25
et m = . L’équation s’écrit alors
2 8
x 3 − 5x + 25 (
8 = x + 5 )(
x 2 − 5 2 2 x + 5 )
.
4
Exercice 7.27
1.
P(x) = x 4 − 2(cos a + cos b)x 3 + 2(1 + 2cos acos b)x 2 − 2(cos a + cos b)x + 1
(
= x 2 x 2 + 1 (
x 2 − 2(cos a + cos b) x + 1 )
)
+ 2(1 + 2cos acos b)
x
Avec y = x + 1 x , on a y2 = x 2 + 1 x 2 + 2, donc x2 + 1 x 2 = y2 − 2.
On en déduit que P(x) = x 2 Q(y), avec Q(y) = y 2 − 2(cos a + cos b)y + 4cos acos b)
2. P(x) n’admettant pas la racine 0, P(x) = 0 équivaut à Q(y) = 0. Les racines de
Q(y) étant 2cos a et 2cos b, on obtiendra les racines de P(x) en résolvant les équations
x 2 − 2xcos a + 1 = 0 et x 2 − 2xcos b + 1 = 0. L’ensemble des racines de P(x) est donc
{e ia ,e −ia ,e ib ,e −ib }