Corrigé des exercices - Dunod

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Exercice 25.11
1. Pour b = a + 1, on obtient
u n =
a(a + 1)...(a + n)
(a + 1)(a + 2)...(a + n + 1) = a
a + n ∼ a n
et la série diverge.
Comme u n est une fonction décroissante de b, on a pour b a + 1, u n
de terme général u n diverge d’après le théorème de comparaison.
2. a) Pour k 1, on a u k
= a + k , ce qui peut s’écrire
u k−1 b + k
a
a + n
(b + k)u k = (a + k)u k−1 ou ku k − (k − 1)u k−1 = −bu k + (a + 1)u k−1 .
et la série
b) On somme la relation obtenue, pour k de 1 à n. On obtient en simplifiant les termes deux
à deux,
n∑
n∑
nu n = (ku k − (k − 1)u k−1 ) = − (bu k + (a + 1)u k−1 )
On en déduit
k=1
= −b
n∑
k=1
k=1
n−1
∑
u k + (a + 1) u k = −b(S n − u 0 ) + (a + 1)(S n − u n ).
k=0
(b − a − 1)S n = bu 0 − (a + 1 + n)u n .
c) Puisque b − a − 1 > 0 et que (u n ) n∈N est à termes positifs, on a pour tout entier n,
bu 0
S n
b − a − 1 . Les sommes partielles de la série à termes positifs ∑ u n sont majorées,
donc la série converge.
De la convergence de la série et donc de celle de la suite (S n ) n∈N , on déduit que
(a + 1 + n)u n = bu 0 − (b − a − 1)S n a une limite finie quand n tend vers +∞. Cette
l
limite l est nulle, car sinon u n ∼
a + 1 + n ∼ l , ce qui contredit la convergence de la série
∑ n
un . On a donc lim (a + 1 + n)u n = 0 et par passage à la limite dans l’égalité, on
n→+∞
obtient
+∞∑
k=0
u n = lim
n→+∞ S n =
bu 0
b − a − 1 =
a
b − a − 1 .
Exercice 25.12
En séparant les termes d’indice pair et les termes d’indice impair et en éliminant la somme
des termes d’indice impair on obtient
2n∑
k=1
(−1) k+1 n∑
= −
k
= −
k=1
n∑
k=1
n
1
2k + ∑
k=1
1
2n∑
k + 1
k =
k=1
n
1
2k − 1 = −2 ∑
2n∑
k=n+1
1
k .
k=1
1
2n∑
2k +
k=1
1
k