Corrigé des exercices - Dunod

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discriminant de ce polynôme du second degré est négatif, et son coefficient dominant est
positif. Donc P(x) est positif pour tout réel x. Comme D = P(a)+P(b), alors D est positif,
et 2 + a 2 + b 2 > a + b.
Soit D ′ = (1 + a 2 )(1 + b 2 ) − a − b = a 2 b 2 + a 2 + b 2 − a − b + 1. Posons alors
Q(x) = x 2 − x + 1 . On démontre comme plus haut que Q(x) est positif pour tout
2
réel x. Ainsi D ′ = Q(a) + Q(b) + a 2 b 2 est la somme de réels positifs. C’est donc un réel
positif, et l’on a bien a + b < (1 + a 2 )(1 + b 2 ).
b) 2+a 2 +b 2 et (1+a 2 )(1+b 2 ) sont donc deux majorants de (a+b). On peut se demander
lequel des deux est le meilleur. Comparons les : (1 + a 2 )(1 + b 2 ) − (2 + a 2 + b 2 ) = a 2 b 2 − 1.
Il en résulte que, si ab < 1, alors (1 + a 2 )(1 + b 2 ) < (2 + a 2 + b 2 ), si ab > 1,
(1 + a 2 )(1 + b 2 ) > (2 + a 2 + b 2 ). Si ab = 1, ces deux majorants sont égaux.
2. Quels que soit le réel x, (1 − |x|) 2 = x 2 − 2|x| + 1 0. Donc (1 + x 2 ) 2|x|. Il en résulte
que, quels que soient les réels a, b et c : (1 + a 2 )(1 + b 2 )(1 + c 2 ) 8|abc|(on multiplie des
inégalités de même sens entre nombres positifs).
Comme pour tout réel x, x |x|, on peut conclure : quels que soient les réels a, b et c,
(1 + a 2 )(1 + b 2 )(1 + c 2 ) 8abc.
3. Pour comparer ces deux nombres réels, on peut étudier le signe de leur différence (voir
exercice 5), on peut aussi utiliser les nombres complexes, en considérant le module de
a + bj + cj 2 .
Utilisons une autre méthode :
Pour tout réel x, (ax + b) 2 + (bx + c) 2 + (cx + a) 2 0. Comme il ne change pas de signe, ce
trinôme du second degré a un discriminant négatif : Or
(ax + b) 2 + (bx + c) 2 + (cx + a) 2 = (a 2 + b 2 + c 2 )x 2 + 2(ab + bc + ca)x + b 2 + c 2 + a 2
et ∆ ′ = (ab+bc+ca) 2 −(a 2 +b 2 +c 2 )(b 2 +c 2 +a 2 ) (discriminant réduit). La condition ∆ ′ 0
conduit donc à (ab + bc + ca) 2 (a 2 + b 2 + c 2 ) 2 , c’est à dire à |ab + bc + ca| a 2 + b 2 + c 2 .
On conclut en remarquant que tout réel x est inférieur ou égal à sa valeur absolue.
Exercice 5.11
1. Considérons le produit P = a(1 − b)b(1 − c)c(1 − a) = a(1 − a)b(1 − b)c(1 − c)
(
Pour tout x,Q(x) = x − 1 2
= x
2) 2 − x + 1 4 0. Par suite, x(1 − x) = x − x2 1 4 .
( ) 3 1
Donc P = Q(a)Q(b)Q(c) .
4
Trois nombres positifs dont le produit est égal à P ne peuvent pas être tous les trois supérieurs
à 1 4 , sinon P serait lui même supérieur à 1 4 .
Exercice 5.12
1. P(x) = Ax 2 + 2Cx + B
2. Pour tout réel x, P(x) est positif. Comme il ne change pas de signe, son discriminant
est négatif ou nul. On a donc C 2 − AB 0 (discriminant réduit). On a égalité lorsqu’il
existe un x tel que, pour tout entier k de [[1,n]], a k x + b k = 0, c’est à dire si et seulement si
(a 1 ,a 2 ,...,a n ) et (b 1 ,b 2 ,...,b n ) sont proportionnels.