Corrigé des exercices - Dunod

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Alors E n = A 1 ∩ · · · ∩ A n−1 ∩ B n .
Comme les lancers sont supposés indépendants P(E n ) = P(A 1 ) · · · P(A n−1 )P(B n ).
Ainsi P(E n ) = ( 13
18) n−1 1
9 .
2. Par incompatibilité des événements E n , P( +∞ ⋃
n=1
En reconnaissant la somme d’une série géométrique
E n ) = +∞ ∑
P(E n ).
n=1
P(E n ) = 2 5
3. Notons F n l’événement «une somme de 7 apparaît au n ième double jet et sur les n − 1
premiers jets ni la somme de 5 ni celle de 7 n’apparaît» et C k l’événement «la somme de 7
apparaît au k ième double jet».
F n = A 1 ∩ · · · ∩ A n−1 ∩ C n .
Alors par indépendance des lancers, P(F n ) = ( 13 n−1 1
18)
6 .
Par incompatibilité des événements F n ,
+∞
⋃
P(
n
F n ) =
+∞∑
n=1
P(E n ) = 3 5 .
4. Les événements «le jeu s’arrête sur une somme de 5», «le jeu s’arrête sur une somme de
7» et «le jeu ne s’arrête pas» forment un système complet d’événements. Donc la somme
des probabilités de ces trois événements est égale à 1.
Donc la probabilité que le jeu ne s’arrête pas est nulle.
Exercice 29.23
1. Si la partie n’est pas terminée après le 2n ième lancer, alors le joueur a obtenu autant de
piles que de faces lors des 2n premiers lancers.
Notons A n l’événement «la partie n’est pas terminée après le 2n ième lancer». Remarquons
que la suite (A n ) est une suite décroissante d’événements, A n ⊆ A n−1 .
Alors par définition de la probabilité conditionnelle, P(A n ) = P An−1 (A n )P(A n−1 ).
Or P An−1 (A n ) = 2p(1 − p) et P(A 1 ) = 2p(1 − p). Donc la suite ( P(A n ) ) est une suite
n∈N ∗
géométrique de raison 2p(1 − p).
Ainsi P(A n ) = ( 2p(1 − p) ) n
.
2. Si la personne gagne au nème lancer, alors elle a obtenu deux piles de plus que de faces,
donc si on note k le nombre de piles obtenus, le nombre de faces est k − 2, donc n = 2k − 2,
n est donc pair.
Notons alors G 2n l’événement «la personne gagne au 2nème lancer» et G l’événement «la
personne gagne».
G 2n ⊆ A 2(n−1) . Et P A2(n−1) (G 2n ) = p 2 .
Ainsi P(G 2n ) = p 2 (2p(1 − p)) n−1 .
G = +∞ ⋃
G 2n , et les événements G 2n sont deux à deux incompatibles.
n=1
Donc P(G) = +∞ ∑
p 2 (2p(1 − p)) n−1 =
n=1
p 2
1−2p(1−p) .