Corrigé des exercices - Dunod

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Or lim
n→+∞
( n − 2
n
Donc lim V (S n) = 0.
n→+∞
) an
= e −2a , lim
n→+∞
5. a) S n (ω) − e −a = S n (ω) − E(S n ) + E(S n ) − e −a .
Donc par inégalité triangulaire,
( ) 2an ( ) an n − 1
n − 1
= e −2a et lim = e −a .
n
n→+∞ n
∣ Sn (ω) − e −a∣ ∣ |Sn (ω) − E(S n )| + ∣ ∣ E(Sn ) − e −a∣ ∣ .
b) Soit ε > 0.
si ω vérifie |S n (ω) − e −a | ε alors |S n (ω) − E(S n )| + |E(S n ) − e −a | ε.
Or lim E(S n) = e −a . Donc il existe un entier n 0 tel que por tout entier n supérieur ou
n→+∞
égal à n 0 , |E(S n ) − e −a | ε 2 .
Donc ∀ε > 0, ∃n n 0 , P (|S n (ω) − e −a | ε) P ( |S n (ω) − E(S n )| ε 2)
.
c) Or d’après l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, P(|S n − E(S n )| ε 2 ) 4V (S n)
ε 2 .
Donc lim
n→+∞ P(|S n − E(S n )| ε 2 ) = 0.
Ainsi lim
n→+∞ P(|S n(ω) − e −a | ε) = 0.
Exercice 31.34
∑
1. a) X n = n Y i .
i=1
n
b) Y 1 suit une loi géométrique de paramètre
( 2n 2 ) = 1
2n−1 .
pour tout entier i de [1,n], Y i suit une loi géométrique de paramètre p i où p i est la probabilité
d’obtenir une nouvelle paire de boules portant le même numéro quand i −1 paires de boules
protant le même numéro ont été enlevées.
Donc p i =
( n−i+1
2(n−i+1)
2 ) = 1
2n−2i+1 et E(Y i) = 2n − 2i + 1.
∑
c) Par linéarité de l’espérance E(X n ) = n ∑
E(Y i ) = n 2n − 2i + 1 = n 2 .
i=1
2. a) Si n = 1, X 1 est la variable aléatoire certaine égale à 1.
Si n = 2, X 2 est égale au temps d’attente de la première paire de boules portant le même
numéro.
Donc X 2 suit une loi géométrique de paramètre 1 3 .
b) Si n = 3, alors Y 3 est la variable aléatoire certaine égale à 1 et X 3 = Y 1 + Y 2 + 1, Y 1 suit
une loi géométrique de paramètre 1 5 et Y 2 suit une loi géométrique de paramètre 1 3 . Pour
tout entier k supérieur ou égal à 3, avec le système complet d’événements (Y 1 = i) i∈N ∗ et
i=1