Corrigé des exercices - Dunod

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Ainsi P(F) = 2(2N−x N )
2 2N−x .
= 1
2 2N−x .
Exercice 29.20
1. Numérotons les couples de 1 à n. Ω est l’ensemble des bijections de l’ensemble
{F 1 , · · · ,F n } vers l’ensemble {H 1 , · · · ,H n }.
Comme les danseurs choisissent une danseuse au hasard, nous munirons Ω de la tribu
grossière et de la probabilité uniforme.
L’événement E «chaque danseur danse avec sa femme» est l’événement élémentaire contenant
la bijection qui à F i associe H i pour tout entier i de [1,n].
Par équiprobabilité, P(E) = 1 n! .
2. Numérotons les chaises de 1 à 2n de telle sorte que les chaises 2k et 2k + 1 soient autour
d’une même table notée T k .
Ici l’univers est l’ensemble des bijections de {C 1 , · · · ,C 2n } vers l’ensemble
{F 1 ,...,F n ,H 1 ,...,H n }.
Le cardinal de l’événement G est égal au produit du cardinal de l’ensemble des bijections
de {T 1 , · · · ,T n } vers {F 1 , · · · ,F n } (les femmes ont choisi leur table) par 2 n (le nombre de
possiblités pour chaque couple de positionnement autour d’une table).
Par équiprobabilité, P(G) = 2n n!
(2n)! .
3. Notons D i l’événement «le couple i s’est recomposé pour la danse».
D’après la formule du crible
n⋃
P( D i ) =
i=1
n∑
(−1) k−1
k=1
∑
1i 1