Corrigé des exercices - Dunod

368
n∑
u k = 1.
k=1
Donc a n =
1
n∑ .
k
n
k=1
2 +k 2
2. Remarquons que n ∑
n∑
u k =
k=1
k
n 2 +k
= 1 2 n
k=1
x
n∑
k=1
n∑
k=1
= a n
n
∑
k
n
1+( k n) 2 .
Or la fonction x ↦→
1+x
est continue sur [0,1].
2
Par les sommes de Riemann,
lim
n∑
n→+∞
k=1
∫
k 1
n 2 + k 2 =
0
a n k
n 2 + k 2
k=1
k
n 2 + k 2
[ 1
x 1
)]
1 + x 2 dx = 2 ln(1 + x2 = 1 ln 2.
0
2
Donc la suite (a n ) converge vers
2
ln 2 .
3. X n est une variable aléatoire réelle discrète finie, donc X n admet une espérance.
n∑ a n k 2
E(X n ) =
n 2 + k 2
k=1
∑ n ( k 2 + n 2 )
= a n
n 2 + k 2 −
n2
n 2 + k 2
k=1
= na n − n 2 a n
n
∑
= na n
(
1 − 1 n
Or la fonction x ↦→ 1
1+x 2 est continue sur [0,1].
Par les sommes de Riemann,
Donc E(X n )
Exercice 30.13
4−π
∼
n→+∞ 2 ln 2 n.
1
lim
n→+∞ n
n∑ 1
=
1 + k2
n 2
k=1
k=1
n∑
k=1
∫ 1
0
1
n 2 + k 2
1
1 + k2
n 2 )
dx
1 + x 2 = π 4
1. X(Ω) = [1,n].
Pour tout entier k de [1,n − 1], l’événement (X = k) est l’événement «le joueur a utilisé k
flèches» c’est-à-dire «le joueur a atteint la cible au k ième lancer».
Donc P(X = k) = p(1 − p) k−1 .