Corrigé des exercices - Dunod

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et, pour tout réel x,
f ′ (x) = 1
√ x
1 + x 2 + 2 − 1 1+x 2
( √ 1 + x 2 − x) 2 + 1
= 1
x− √ √
1+x 2
1 + x 2 + 2 1+x 2
2(1 + x 2 ) − 2x √ 1 + x 2
= 1
1 + x 2 + x − √ 1 + x 2
(1 + x 2 )( √ 1 + x 2 − x) = 0.
La fonction f est donc constante sur R et comme f(0) = 2arctan 1 = π 2 , on a f(x) = π 2
pour tout réel x.
2. La fonction g : x ↦−→ arctan 1
2x 2 + arctan x + 1 + arctan x − 1
x x
g ′ (x) =
−1
x 3
1 + 1
4x 4 +
− 1 x 2
1 + ( x+1
x
) 2
+
1
x 2
1 + ( x−1
x
= −4x
4x 4 + 1 − 1
x 2 + (x + 1) 2 + 1
x 2 + (x − 1) 2
= −4x
4x 4 + 1 + 4x
(2x 2 + 1 − 2x)(2x 2 + 1 + 2x) = 0.
) 2
est dérivable sur R ∗ et
La fonction g est donc constante sur ] − ∞,0[ et sur ]0,+∞[. Comme lim
+∞
g = 2arctan 1 = π 2
et lim
−∞
g = π 2 , on a g(x) = π 2 pour tout x ∈ R∗ .
Exercice 20.31
1. La dérivée de cos, −sin ne s’annule pas sur ]0,π[ donc la fonction arccos est dérivable sur
cos(]0,π[) =] − 1,1[, et pour x ∈ ]−1,1[,
arccos ′ (x) =
1
cos ′ (arccos x) = 1
−sin(arccos x) = √ −1 ,
1 − x
2
car pour y ∈ ]0,π[, siny = √ 1 − cos 2 y.
∣ 2. On a, pour tout réel x,
1 − x 2 ∣∣∣
∣1 + x 2 1 et arccos est définie sur [−1,1] donc f est définie sur
R.
3. La fonction x ↦−→ 1 − x2
−4x
est dérivable sur R de dérivée x ↦−→
1 + x2 (1 + x 2 . Comme arccos
)
2 ∣ est dérivable sur ] − 1,1[, f est dérivable en x si
1 − x 2 ∣∣∣
∣1 + x 2 ≠ 1. C’est vrai si x ≠ 0. Ainsi f
est dérivable sur R ∗ , de dérivée
f ′ (x) = −√
1 −
1
(
1−x 2
1+x 2 ) 2
−4x
(1 + x 2 ) 2 = 4x
√
4x2 (1 + x 2 ) .