Corrigé des exercices - Dunod

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2. On montre, comme dans la question 1 et avec les mêmes notations, que f est continue
sur Ω 1 et Ω 2 . La fonction f est donc continue en tout point (x 0 ,y 0 ) tel que y 0 ≠ 0.
Reste à étudier la continuité en (x 0 ,0) pour tout réel x 0 . En utilisant l’inégalité de Taylor-
Lagrange à l’ordre 2, on obtient, pour tout u ∈ R,
u2
∣cos u − 1 + 2 ∣ u3
6 .
On en déduit, pour tout (x,y) ∈ R 2 ,
∣ cos xy − 1 + x2 y 2
2 ∣ x3 y 3
6 ,
puis pour y ≠ 0,
On obtient
∣ ∣∣∣ 1 − cos xy
y 2
− x2
2
∣ ∣∣∣
f(x,y) − x2
2
∣ |x3 y|
6 .
∣ |x3 y|
6 ,
inégalité qui reste vraie pour y = 0. On en déduit, pour tout (x,y) ∈ R 2 .
∣ ∣ |f(x,y) − f(x 0 ,0)| =
∣ f(x,y) − x2 0 ∣∣∣ 2 ∣ f(x,y) − x2
∣∣∣ 2 ∣ + x 2
2 − x2 0
2 ∣
|x3 y|
6
+ |x2 − x 2 0|
.
2
La fonction g : (x,y) ↦−→ |x3 y|
6 + |x2 − x 2 0|
est continue sur R 2 donc en (x 0 ,0) et g(x 0 ,0) = 0.
2
On peut donc rendre g(x,y) et donc |f(x,y) −f(x 0 ,0)| plus petit que tout ε > 0 en prenant
‖(x,y) − (x 0 ,0)‖ assez petit.
La fonction f est donc continue en tout (x 0 ,0) et donc continue sur R 2 .
3. Les fonctions f 1 : (x,y) ↦−→ x(1 − y) et f 2 : (x,y) ↦−→ y(1 − x) sont continues.
On en déduit que f est continue sur les deux ouverts Ω 1 = {(x,y) ∈ R 2 , y < x} et
Ω 2 = {(x,y) ∈ R 2 , y > x}. Reste à étudier la continuité en (x 0 ,x 0 ) pour tout réel x 0 .
Selon la partie du plan où on prend (x,y), on a f(x,y) = f 1 (x,y) ou f 2 (x,y). Comme
f(x 0 ,x 0 ) = f 1 (x 0 ,x 0 ) = f 2 (x 0 ,x 0 ), on peut écrire
|f(x,y) − f(x 0 ,x 0 )| |f 1 (x,y) − f 1 (x 0 ,x 0 )| + |f 2 (x,x) − f 2 (x 0 ,x 0 )|.
Puisque f 1 et f 2 sont continues, cette quantité sera inférieure à ε > 0 pour |(x,y) −(x 0 ,x 0 )‖
assez petit. Ainsi f est continue en (x 0 ,x 0 ) donc sur tout R.
4. La démonstration est la même que dans 3. La fonction est continue sur les ouverts
Ω 1 = {(x,y) ∈ R 2 , y < x 2 } et Ω 2 = {(x,y) ∈ R 2 , y > x 2 } (ces ensembles sont ouverts
car image réciproque d’un intervalle ouvert par la fonction continue (x,y) ↦−→ y −x 2 ).
Il faut étudier la continuité en un point (x 0 ,x 2 0). On a f(x 0 ,x 2 0) = 0 et on peut écrire
|f(x,y) − f(x 0 ,x 2 0)| |y − x 2 |.
La fonction (x,y) ↦−→ y − x 2 est continue sur R 2 et nulle en (x 0 ,x 2 0), donc cette quantité
peut être rendu inférieure à tout ε > 0 en prenant ‖(x,y) −(x 0 ,x 2 0)‖ assez petit. La fonction
f est continue en tout point (x 0 ,x 2 0) et donc continue sur R 2 .