CorrigÃ© des exercices - Dunod

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80 Exercice 11.12 1. On a T(X) = (X −1)(3X 2 +2X +1). Comme le discriminant du trinôme en facteur vaut 4 − 12 = −8, 1 est la seule racine réelle de T. D’après les propriétés connues sur la somme et le produit <strong>des</strong> racines d’un trinôme, on a α + α = − 2 3 et αα = 1 3 2. a) La démonstration est tout à fait analogue à celle de l’exercice 1. b) On a ϕ(T) = 0 donc ϕ n’est pas injectif. Par définition Im(ϕ) ⊂ C 2 [X], donc ϕ n’est pas surjectif. 3. a) Prouvons que c’est une famille libre. Soit a 1 ,a 2 ,a 3 <strong>des</strong> scalaires tels que a 1 L 1 +a 2 L 2 +a 3 L 3 = 0. En évaluant ce polynôme en α, on trouve a 1 (α − 1)(α − α) = 0 et donc a 1 = 0. De même l’évaluation en α et en 1 amène a 2 = a 3 = 0. La famille (L 1 ,L 2 ,L 3 ) est donc une famille libre de 3 vecteurs de C 2 [X], espace de dimension 3. C’est donc une base de C 2 [X]. b) L’existence et l’unicité de a n ,b n ,c n vient de la question précédente et de Im(ϕ) ⊂ C 2 [X]. Soit Q ∈ C[X] le polynôme tel que X n = T(X)Q(X) + a n L 1 + b n L 2 + c n L 3 . En évaluant l’équation en 1, α et α, on trouve et donc 1 = c n L 3 (1) α n = b n L 2 (α) α n = a n L 1 (α) a n = b n = αn L 1 (α) = α n (α − 1)(α − α) αn L 2 (α) = α n (α − 1)(α − α) c n = 1 L 3 (1) = 1 (1 − α)(1 − α) = 1 1 − (α + α) + αα = 1 1 + 2 3 + 1 3 = 1 2 c) En reprenant les notations de la question précédente, on a f n = (QT + a n L 1 + b n L 2 + c n L 3 )(f) = Q(f)T(f) +a n L 1 (f) + b n L 2 (f) + c n L 3 (f) }{{} =0 = a n L 1 (f) + b n L 2 (f) + c n L 3 (f) d) On a clairement lim c n = 1 n→+∞ 2 . Par ailleurs |α|2 = |αα| = 1 < 1. Donc |α| = |α| < 1. 3 Compte tenu de la remarque on en déduit que (a n ) et (b n ) converge vers 0.
81 4. a) On a b) On calcule h = 1 2 L 3(f) = 1 2 (f − α Id E)(f − α Id E ) = 1 ( f 2 ) − (α + α)f + αα Id E 2 = 1 ( f 2 + 2 2 3 f + 1 ) 3 Id E = 1 ( 3f 2 ) + 2f + Id E 6 h 2 = 1 ( 3f 2 ) 1 ( + 2f + Id E 3f 2 ) + 2f + Id E 6 6 = 1 ( 9f 4 + 12f 3 + 10f 2 ) + 4f + Id E 36 En effectuant la division euclidienne de 9X 4 + 12X 3 + 10X 2 + 4X + 1 par T, on trouve que On en conclut que 9X 4 + 12X 3 + 10X 2 + 4X + 1 = T(X)(3X + 5) + 18X 2 + 12X + 6 c’est-à-dire que h est un projecteur. h 2 = 1 ( 18f 2 ) + 12f + 6Id E 36 = 1 6 (3f2 + 2f + Id E ) = h Chapitre 12 Exercice 12.1 1. On voit que A 2 = 0. On en déduit que A 0 = I, A 1 = A et A n = 0 pour n 2. 2. On constate que B = I + 3A. 3. Les matrices A et I commutant, on peut appliquer la formule du binôme de Newton pour trouver B n = (I + 3A) n n∑ ( n = 3 k) k }{{} A k k=0 =0 pour k2 = I + 3nA ( ) 3n + 1 3n = −3n −3n + 1
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Corrigé des exercices 1
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4 P Q 9 10 11 12 13 14 15 16 V V F
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6 Dans tous les cas, un élément q
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8 2. f(A) = {1}; 3. f(A) = [0,2];
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10 l’hypothèse, g ◦f ne serait
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12 2. f est une bijection de R \ f
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14 Exercice 5.6 1. Considérons la
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16 3. En appliquant ce qui précèd
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18 façon que n = 4a+9b. Considéro
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20 D’autre part, (1 −a n )(1
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22 Chapitre 6 Exercice 6.1 Nous ne
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24 Exercice 6.8 1. Soit a un comple
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26 fait) que a ∈ [2 − √ 3,2+
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28 n−1 ∑ 2. Si ω p = 1, alors
Page 30 and 31: 30 Exercice 6.27 On pose Z = z n .
Page 32 and 33: 32 z 3 = 1 2 ⎛ ⎝− 1 − √ 5
Page 34 and 35: 34 2. z 4 + 4z 3 + 4z 2 + 1 = z 2 (
Page 36 and 37: 36 2. On calcule Q(1) = 0, puis, av
Page 38 and 39: 38 Exercice 7.23 Si a est une racin
Page 40 and 41: 40 Exercice 7.28 1. Posons Y = X +
Page 42 and 43: 42 Exercice 8.4 La relation bien co
Page 44 and 45: 44 • Pour n = 0, la propriété d
Page 46 and 47: 46 Exercice 8.18 1. a) Pour tout en
Page 48 and 49: 48 e) Chaque rangement de p boules
Page 50 and 51: 50 3. Il faut ici d’abord réalis
Page 52 and 53: 52 Soient f,g deux fonctions de A e
Page 54 and 55: 54 Exercice 9.6 Soient a,b,c trois
Page 56 and 57: 56 Exercice 9.10 1. Comme (−3,
Page 58 and 59: 58 Exercice 9.14 Pour tout réel x
Page 60 and 61: 60 Exercice 9.18 1. Si f était dé
Page 62 and 63: 62 Exercice 9.24 1. Par définition
Page 64 and 65: 64 6. Soient f,g ∈ E et λ,µ deu
Page 66 and 67: 66 3. On sait que l’image par f d
Page 68 and 69: 68 f est une application linéaire.
Page 70 and 71: 70 Exercice 10.13 1. Montrons d’a
Page 72 and 73: 72 2. a) Nous avons d’une part f(
Page 74 and 75: 74 Exercice 11.3 Soit y ∈ Im(u+v)
Page 76 and 77: 76 Or il est clair que Im(h) = Im(g
Page 78 and 79: 78 Exercice 11.11 1. Tout d’abord
Page 82 and 83: 82 Exercice 12.2 1. Soient A,B ∈
Page 84 and 85: 84 De même (0,1) = a(1, −1)+b(2,
Page 86 and 87: 86 4. Au rang 1, un endomorphisme n
Page 88 and 89: 88 3. Avec les mêmes notations, on
Page 90 and 91: 90 Exercice 12.14 1. L’image par
Page 92 and 93: 92 4. On inverse la matrice de f da
Page 94 and 95: 94 ⎛ → ⎜ ⎝ 2 −2 1 −5 3
Page 96 and 97: 96 soit n−1 ∑ L n : x 1 + x n +
Page 98 and 99: 98 En effectuant à nouveau les op
Page 100 and 101: 100 2. Une équation de E −2 est
Page 102 and 103: 102 3. λ est valeur propre si et s
Page 104 and 105: 104 D’où E 0 = Vect(−1,0,1). U
Page 106 and 107: 106 D’où E −1 = Vect(1,2,2). D
Page 108 and 109: 108 1 er cas λ = −2 On obtient a
Page 110 and 111: 110 Exercice 14.8 1. On triangule l
Page 112 and 113: 112 4. a) On voit que ⎛ ⎝ c’e
Page 114 and 115: 114 b) Avec une telle hypothèse su
Page 116 and 117: 116 b) On a donc M = (a − c)PIP
Page 118 and 119: 118 12. C’est vrai pour ⎛ n = 1
Page 120 and 121: 120 18. On a donc ⎧⎛ ⎨ C(A) =
Page 122 and 123: 122 Exercice 15.4 On a Si a > b, on
Page 124 and 125: 124 Si (v n ) n∈N converge vers 0
Page 126 and 127: 126 2. On a, pour n 1, lnu n = n
Page 128 and 129: 128 En mettant en facteur √ 2, on
Page 130 and 131:
130 2. On remarque que, pour tout n
Page 132 and 133:
132 Exercice 15.23 1. On a, pour to
Page 134 and 135:
134 Exercice 15.26 La suite (u n )
Page 136 and 137:
136 On remarque que et on obtient (
Page 138 and 139:
138 3. On déduit de la question 2
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140 x 1 1 1 . On a donc inf A et
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142 3. Notons p = Ent(nx) et effect
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144 5. En multipliant par l’expre
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146 Exercice 16.6 On note que, pour
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148 2. Soit x 0 ∈ R + et ε > 0.
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150 Exercice 16.15 1. On a, pour to
Page 152 and 153:
152 2. Pour tout n ∈ N, u n − v
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154 On en déduit que u n √ k = e
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156 3. Pour n n 0 , on a v n+2 = |
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158 u 0 = 1 − 1 n , avec n ∈ N
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160 Si u 0 ∈ I 4 , la suite (u n
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162 Exercice 17.22 1. La fonction g
Page 164 and 165:
164 b) La fonction f est décroissa
Page 166 and 167:
166 et g(x) − x = (r + x2 ) 2 (1
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168 Exercice 17.29 1. La fonction g
Page 170 and 171:
170 3. On étudie (x x ) x x xx De
Page 172 and 173:
172 2. Puisque lim 2sin x = 1, on p
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174 Exercice 18.9 On compare la som
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176 On remarque que, pour tout enti
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178 On en déduit que nécessaireme
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180 3. Comme u n tend vers +∞, e
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182 4. On raisonne comme dans 3. En
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184 3. Pour n assez grand, on a nm
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186 Si g n’est pas strictement po
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188 On en déduit que lim |f(x)| =
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190 Pour tout y ∈] − 1,1[, y =
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192 5. On obtient : 0 arctan x < a
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194 2. La réciproque est fausse. S
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196 Pour le produit, on prend le lo
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198 Exercice 20.13 1. Si g(b) = g(a
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200 2. On procède comme dans la qu
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202 3. On a, pour tout réel x, f
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204 On obtient g ′ (x) = (c−x)(
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206 2. Soit f définie sur ] 0, π
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208 La fonction g α ′ s’annule
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210 Ainsi, si x < 0, f ′ (x) =
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212 n−2 ∑ Posons P n (x) = a k
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214 ce qui montre que la propriét
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216 ce qui est possible car x 0 n
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218 Exercice 20.43 1. La dérivée
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220 Chapitre 21 Exercice 21.1 1. On
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222 car e it ne peut pas être éga
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224 Ceci montre que la différence
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226 4. D’après la démonstration
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228 Exercice 21.13 La fonction f s
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230 4. Supposons que f tend vers +
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232 Exercice 21.18 1. Si M = 0, la
Page 234 and 235:
234 Exercice 21.21 1. • Notons qu
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236 Comme, par positivité de l’i
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238 Si la propriété est vérifié
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240 1 est une primitive de x ↦−
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242 ] b) Pour tout x ∈ − π 2 ,
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244 Exercice 22.13 1. a) Pour n ∈
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246 Exercice 22.15 Pour x > 0, on f
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248 c) Supposons que l > 0. On a pa
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250 La fonction f est donc décrois
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252 H de h sur ]0,1[ ou ]1,+∞[ et
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254 c) Notons k le prolongement con
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256 3. On applique la formule de Ta
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258 |x| n 2. On montre comme dans l
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260 De même, f ′ est C 1 donc On
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262 3. On écrit l’inégalité de
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264 On observe que si x ∈ [0,1] e
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266 Comme lim f(x) = l, on a égale
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268 Exercice 23.19 1. Comme f est d
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270 b) On obtient, pour tous réels
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272 ( ) 4. On écrit (1 + 2x) 1 1+x
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274 2. En posant x = π + h, on obt
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276 2. On détermine un développem
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278 Exercice 24.6 1. On écrit des
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280 3. On écrit ( 1 + n) 1 n ( ( =
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282 n∑ x k La fonction x ↦−
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284 On obtient en sommant des relat
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286 3. On suppose x > 0. D’après
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288 Puisque g est décroissante sur
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290 Le signe de ϕ ′ (t) est celu
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292 Le développement limité de x
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294 Si on pose v n = ln n + 1 n , o
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296 2. On note S n la somme partiel
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298 ( ) 1−α m − 1 Quand m tend
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300 b) La suite (R n ) n∈N est à
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302 Exercice 25.9 1. On intègre pa
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304 Exercice 25.10 1. On obtient, e
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306 On reconnaît une somme de Riem
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308 La série de terme général v
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310 et donc S = ex 1 − x . Exerci
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312 on obtient U 2 n u 0 + u 1 + 1
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314 On applique de nouveau le résu
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316 Chapitre 26 Exercice 26.1 1. Le
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318 donc (X,Y ) ∈ Ω 3 . Enfin,
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320 montrent que les suites (a n )
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322 Le point (u,v) appartient donc
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324 n∑ λ i Comme = 1, l’hypoth
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326 2. On montre, comme dans la que
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328 La fonction (x,y) ↦−→ (
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330 y, il contient c xy et on a |f
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332 Exercice 27.13 La fonction f es
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334 Ces dérivées partielles sont
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336 On en déduit que |f(x,y)| |xy
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338 Exercice 28.7 Si U = (a,b) ≠
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340 Exercice 28.11 Les fonctions so
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342 Exercice 28.14 Sur l’ouvert
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344 2. On fixe (x,y) ∈ R 2 . La f
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346 3. P(E ∪ F) = P(E) + P(F) −
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348 Exercice 29.10 1. T ( {A∪B, A
Page 350 and 351:
350 2. Procèdons par récurrence s
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352 P R1∩···∩R n (R n+1 ) =
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354 Or +∞ ⋃ k=1 B k = +∞ ⋃
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356 Exercice 29.24 1. a) p 0 = 1 et
Page 358 and 359:
358 Si i = 6, ou 8 P(E i ) = 25 396
Page 360 and 361:
360 Exercice 29.30 1. M 4 = Id, Don
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362 Exercice 30.3 ∑ Comme X est u
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364 Donc en faisant tendre n vers +
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366 La série de terme général k
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368 n∑ u k = 1. k=1 Donc a n = 1
Page 370 and 371:
370 c) Remarquons que E(Y ) = 4n2 +
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372 Exercice 30.19 1. Par définiti
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374 µ [3] = µ [2] = +∞∑ k=1 =
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376 ( b Ainsi Z k suit une loi de B
Page 378 and 379:
378 x f ′ 0 1 6 1 + 0 − 0 f 0 (
Page 380 and 381:
380 E(Y n ) = 1 2 = 1 2 = 1 2 + 1 2
Page 382 and 383:
382 Or 1−p p appartient à [0,1]
Page 384 and 385:
384 Exercice 30.31 1. L’événeme
Page 386 and 387:
386 Exercice 31.2 1. Pour tout enti
Page 388 and 389:
388 Soit k un entier supérieur ou
Page 390 and 391:
390 Ainsi Z − X et X ont même lo
Page 392:
392 Comme la série de terme géné
Page 395 and 396:
395 P(Y = k) = P(Y = k,X = 0) + P(Y
Page 397 and 398:
397 Donc S suit une loi de Poisson
Page 399 and 400:
n=0 P([X=n+1]∩[Y =n]) P(U=n,V =1)
Page 401 and 402:
401 Exercice 31.20 1. U(Ω) = {0,1,
Page 403 and 404:
403 Pour tout couple (i,j) d’enti
Page 405 and 406:
405 Par définition de la ⎧ covar
Page 407 and 408:
407 b) P(X < Y ) = = = +∞∑ +∞
Page 409 and 410:
Alors la suite (P(X n = N) − 1) n
Page 411 and 412:
Donc en posant p ′ = 1 2−p , X
Page 413 and 414:
413 par l’indépendance des varia
show all

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