Corrigé des exercices - Dunod

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2. Puisque lim
2sin x = 1, on peut écrire, au voisinage de π 6 ,
x→ π 6
(
ln(2sin x) ∼ 2sin x − 1 ∼ 2
∼ 2sin ′ π (
6 · x − π )
6
sinx − sin π 6
∼ √ 3
)
(
x − π )
6
Exercice 18.5
1. Comme x α =
x→+∞ o(qx ) et que n tend vers +∞, on obtient n α = o(q n ).
2. On a n√ n
2 n2 = e √ n ln n−n 2 ln 2 . De ln n = o(n √ n) on tire √ n lnn = o(n 2 ln 2), puis
√
lim n lnn − n 2 ln 2 = −∞,
n→+∞
3. On pose u n = nα
n! . On a u (
n+1 n + 1
=
u n n
puis que
n √ n
lim = 0 et donc n √n = o(2 n2 ).
n→+∞ 2 n2
) α
1
. On en déduit que
n + 1 lim
u n+1
= 0,
n→+∞ u n
lim u n = 0, par exemple en comparant (u n ) n∈N à une suite géométrique. On
n→+∞
conclut n α = o(n!).
Exercice 18.6
On a
u n+1
u n
(
(2n + 2)(2n + 1)n2n n
=
(n + 1) 2n+2 =
n + 1
( (
∼ 4exp −2nln 1 + 1 ))
.
n
) 2n
(2n + 2)(2n + 1)
(n + 1) 2 ∼ 4
( n + 1
n
) −2n
De l’équivalent ln(1 + x) ∼
x→0
x, on déduit
(
−2nln 1 + 1 )
∼ −2n 1 n n ∼ −1 2 .
u n+1
On obtient lim = 4e − 1 4
2 = √e > 1. On en déduit en comparant par exemple (u n ) n∈N
n→+∞ u n
à une suite géométrique que lim u n = +∞. On a donc n 2n = o((2n)!).
n→+∞
Exercice 18.7
1. On écrit
(( ) p n + 1
(n + 1) p − (n − 1) p = (n − 1) p − 1)
n − 1
(( ) p n + 1
∼ n p − 1)
.
n − 1