Corrigé des exercices - Dunod

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3. On a f 3 (0) = (0,1) ≠ 0, donc f 3 n’est pas linéaire.
4. On a f 4 (2,0,0) = (4,0,0) et f 4 (1,0,0) = (1,0,0) donc f 4 (2(1,0,0)) ≠ 2f 4 (1,0,0). f 4 n’est
pas linéaire.
5. Soient u,v deux vecteurs de R 3 avec u = (x 1 ,y 1 ,z 1 ) et v = (x 2 ,y 2 ,z 2 ) et λ,µ deux réels.
On a
et f 5 est donc linéaire.
f 5 (λu + µv) = f 5 ((λx 1 + µx 2 ,λy 1 + µy 2 ,λz 1 + µz 2 ))
= (λy 1 + µy 2 ,λx 1 + µx 2 )
= λ(y 1 ,x 1 ) + µ(y 2 ,x 2 )
= λf 5 (u) + µf 5 (v)
6. On a f 6 (1,0,0) = (0,0), f 6 (0,1,1) = (0, −1) et f 6 (1,1,1) = (1, −1). Autrement dit
On en déduit que f 6 n’est pas linéaire.
Exercice 10.2
f 6 ((1,0,0) + (0,1,1)) ≠ f 6 (1,0,0) + f 6 (0,1,1)
1. Soient f,g ∈ E et λ,µ deux réels, on a u 1 (λf+µg) = 3(λf+µg) = λ3f+µ3g = λu 1 (f)+µu 1 (g).
u est une application linéaire.
2. Soit f la fonction constante égale à 1. D’une part f ∈ E. D’autre part u 2 (2f) = (2f) 3 = 8f 3 = 8
et 2u 2 (f) = 2f 3 = 2. On a donc u 2 (2f) ≠ 2u 2 (f), u 2 n’est pas linéaire.
3. Soient f,g ∈ E et λ,µ deux réels, on a
u est donc une application linéaire.
4. Soient f,g ∈ E et λ,µ deux réels, on a
u 4 (λf + µg) =
u 3 (λf + µg) = (λf + µg)(0) + (λf + µg) ′
∫ 1
−1
u 4 est donc une application linéaire.
= λ(f(0) + f ′ ) + µ(g(0) + g ′ )
= λu 3 (f) + µu 3 (g)
(λf + µg)(t)dt + (λf + µg) ′′
(∫ 1
) (∫ 1
)
= λ f(t)dt + f ′′ + µ g(t)dt + g ′′
−1
−1
= λu 4 (f) + µu 4 (g)
5. Notons f la fonction définie sur R par f(x) = x. Cette fonction est bien un élément de
E. De plus, pour tout réel x, on a (2f) ◦ (2f)(x) = 2f(2x) = 4x, et 2(f ◦ f)(x) = 2x. On en
déduit que u 5 (2f) ≠ 2u 5 (f). L’application u 5 n’est pas linéaire.