Corrigé des exercices - Dunod

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Pour traiter la réciproque, on commence par démontrer que la suite (v n ) n∈N est elle aussi
croissante (on se reportera à l’exercice 1 où cela est fait). Si la suite (u n ) n∈N converge vers l,
elle est majorée et (v n ) n∈N l’est aussi puisque v n u n pour tout n. La suite (v n ) n∈N qui est
croissante et majorée converge et la démonstration effectuée dans l’autre sens montre que
les deux suites ont même limite : (v n ) n∈N converge vers l.
Si (u n ) n∈N est décroissante, il suffit de considérer la suite −u qui est croissante. D’après ce
qui précède, la suite −u converge vers −l si et seulement si −v converge vers −l. On en
déduit le résultat pour u et v.
Exercice 15.19
1. Pour n 1, la fonction f n : x ↦−→ x n + x n−1 + · · · + x − 1 est strictement croissante et
continue sur R + . On a f n (0) = −1 et lim
+∞
f n = +∞. Ainsi, f n réalise une bijection de R +
sur [−1,+∞[ et en particulier f n s’annule une seule fois, en u n , sur ]0,+∞[.
2. On a, par définition de u n ,
f n+1 (u n ) = u n+1
n + u n n + · · · + u n − 1 = u n+1
n > 0.
Comme la fonction f n+1 est croissante et s’annule en u n+1 , on en déduit que u n > u n+1 :
la suite (u n ) n∈N ∗ est strictement décroissante. Comme elle est minorée par 0, elle converge.
On note l sa limite.
3. On remarque que u 1 = 1. Comme la suite (u n ) n∈N ∗ est strictement décroissante, on a
u n < 1 pour n 2 et on peut écrire
f n (u n ) = u n (u n−1
n
+ u n−2
n
+ · · · + 1) − 1 = u n
1 − u n n
1 − u n
− 1 = 0.
En multipliant par 1 − u n et en simplifiant, on obtient 2u n − 1 − u n+1
n = 0.
De l’inégalité 0 u n+1
n u n+1
2 , vérifiée pour n 2, on tire lim
n→∞ un+1 n = 0, puisque
u 2 ∈ ]0,1[. Par passage à la limite dans l’égalité précédente, on obtient 2l − 1 = 0, soit
l = 1 2 .
Exercice 15.20
1. a) On a, pour n n 0 ,
|v n | = 1 n∑
|u k | 1 ∑n 0
|u k | + 1 n n n
k=1
k=1
n∑
k=n 0+1
ε 1 n
∑n 0
k=1
|u k | + n − n 0
ε 1 n n
∑n 0
k=1
|u k | + ε.
1 ∑n 0
b) L’entier n 0 étant fixé, on obtient lim |u k | = 0 et on peut trouver un entier n 1
n→+∞ n
k=1
tel que, pour tout n n 1
1 ∑n 0
|u k | ε.
n
On a alors
k=1
∀n max(n 0 ,n 1 ) |v n | 2ε,
ce qui montre, puisque ε est un réel strictement positif quelconque, que la suite (v n ) n∈N ∗
converge vers 0.