Corrigé des exercices - Dunod

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Donc en faisant tendre n vers +∞, +∞ ∑
Ainsi +∞ ∑
p k = 1.
k=0
k=0
p k+1
k+1
Donc (p k ) k∈N définit une loi de probabilité.
∣
2. Remarquons que pour tout entier k , ∣k
= −ln(1 − p).
−p k+1
(k+1) ln(1−p)
∣ −pk+1
ln(1−p) .
Or la série de terme général p k+1 converge.
Donc par théorème de comparaison des séries à terme positif, la série de terme général kp k
converge absolument.
Ainsi X admet une espérance.
E(X) =
=
+∞∑
k=0
−p k+1
k
(k + 1)ln(1 − p)
−1
ln(1 − p)
+∞∑
k=0
p k+1 +
−p
=
(1 − p)ln(1 − p) − 1
∣
Remarquons que pour tout entier k, ∣k 2 −pk+1
(k+1) ln(1−p)
1
+∞∑ p k+1
ln(1 − p) (k + 1)
k=0
∣ −kpk+1
ln(1−p) .
Or la série de terme général kp k+1 converge.
Donc par théorème de comparaison des séries à terme positif, la série de terme général k 2 p k
converge absolument.
Ainsi X admet un moment d’ordre 2 donc une variance.
E(X(X + 1)) =
=
=
+∞∑
k=0
−p k+1
k(k + 1)
(k + 1)ln(1 − p)
−1
ln(1 − p)
+∞∑
kp k+1
k=0
−p 2
(1 − p) 2 ln(1 − p)
D’après la formule de Koenig-Huygens, V (X) = E(X 2 )−E(X) 2 = E(X(X+1))−E(X)−E(X) 2 .
p
Ainsi V (X) = −
2
(1−p) 2 ln(1−p) + p
(1−p) ln(1−p) + 1 − p 2
(1−p) 2 ln 2 (1−p) − 1 + 2p
(1−p) ln(1−p) .
Finalement V (X) = −p2 (1+ln(1−p))
(1−p) 2 ln 2 (1−p) + 3p
(1−p) ln(1−p) .
Exercice 30.8
Bien sur dans cet exercice il faut lire Y = 4 [ ]
X
2 − 2X + 1 où [.] désigne la partie entière.
Soit n un entier. On a
[ ] 2n
4 − 2(2n) + 1 = 4n − 4n + 1 = 1
2
[ ] 2n − 1
4 − 2(2n − 1) + 1 = 4(n − 1) − 4n + 2 + 1 = −1
2