Corrigé des exercices - Dunod

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Exercice 25.19
On observe que v 1 = 1 − 1
1 + u 1
et que
v 2 = u 1 u 2
+
1 + u 1 (1 + u 1 )(1 + u 2 ) = u 1(1 + u 2 ) + u 2
(1 + u 1 )(1 + u 2 ) = 1 − 1
(1 + u 1 )(1 + u 2 ) .
Supposons que
n∑
v k = 1 −
k=1
n+1
∑
v k = 1 −
k=1
k=1
1
. On a alors
n∏
(1 + u k )
k=1
u n+1
1
+
n∏
n+1
∏
(1 + u k ) (1 + u k )
1
= 1 − .
n+1
∏
(1 + u k )
k=1
On a donc pour tout n ∈ N ∗ ,
k=1
n∑
v k = 1 −
k=1
1
.
n∏
(1 + u k )
k=1
= 1 − 1 + u n+1 − u n+1
n+1
∏
(1 + u k )
Les sommes partielles de la série ∑ v n sont donc majorées par 1. Comme elle est à termes
positifs, elle converge.
Exercice 25.20
1. On sait que lim
n∑
n→+∞
k=0
u n converge donc si et seulement si x < 1.
2. Comme le conseille l’énoncé, on forme
k=1
1
k! = e. On en déduit que u n ∼
n→+∞ exn . La série de terme général
(1 − x)S = S − xS =
+∞∑
n=0
On observe que u n+1 − xu n se simplifie. On a en effet
u n+1 − xu n =
n+1
∑
k=0
1
k! xn+1 −
n∑
k=0
u n −
+∞∑
n=0
xu n .
1 1
k! xn+1 =
(n + 1)! xn+1 .
On fait donc un changement d’indice dans la première somme. On obtient
(1 − x)S = u 0 +
+∞∑
n=0
(u n+1 − xu n ) = 1 +
+∞∑
n=0
1
+∞∑ 1
(n + 1)! xn+1 =
n! xn = e x
n=0