Corrigé des exercices - Dunod

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5. En multipliant par l’expression conjuguée pour x > 0, on obtient
√
x( x + √ √
x + 1 − x + √ x( √ x + 1 − √ x − 1)
x − 1) = √ √ √ √ x + x + 1 + x + x − 1
=
=
2x
( √ x + √ x + 1 + √ x + √ x − 1)( √ x + 1 + √ x − 1)
2
(√ √ √ )
√ (√ )
1
1 +
x + 1 1
x
+ 1 + 2 x − 1 x
1 + 1 2 x
√1 + − 1 x
et
√
lim x( x + √ √
x + 1 − x + √ x − 1) = 2
x→+∞ 2 · 2 = 1 2 .
Exercice 16.3
1. On a
car lim
x→+∞ xe−x = 0 et
2. On a
et
lim x → +∞ e2x + e x + x
e x − x
lim x → −∞ e2x + e x + x
e x − x
lim(lnx + x − 1) = −∞ lim
x→0
3. Quand x tend vers +∞, x − 1
x
On en déduit que
On a
= lim x → +∞e x 1 + e−x + xe −2x
1 − xe −x = +∞,
e 2x
x
= lim x → −∞
+ ex x + 1
e x x − 1 = −1.
(x + lnx + x − 1
x→0 e−x ) = 1 et donc lim
x→0 x + e −x = −∞
ln x
lnx + x − 1
x
lim
x→+∞ x + e −x = lim
+ 1 − 1 x
x→+∞ 1 + e−x
x
= 1.
tend vers 1. Pour x > 1, on écrit
( ) ( x
xln = xln 1 + 1 )
= x ln
x − 1 x − 1 x − 1
( ) x
lim xln = 1.
x→+∞ x − 1
( )
1 + 1
x−1
1
x−1
( ) x
lim xln = lim (xln |x| − xln |1 − x|) = 0.
x→+0 x − 1 x→+0
.