Corrigé des exercices - Dunod

Alors la suite (P(X n = N) − 1) n∈N ∗ est une suite géométrique de raison N − 1 et de premier
N
terme P(X 1 = N) − 1 = 1 N − 1.
( ) n N − 1
Ainsi pour tout entier n non nul, P(X n = N) − 1 = − .
(
N
) n N − 1
Finalement pour tout entier n non nul, P(X n = N) = 1 − .
N
5. a) D’après la formule des probabilités totales avec le système complet d’événements
(X n = k) 1kN , pour tout entier j de [1,N ]
P(X n+1 = j) =
N∑
P(X n = k)P Xn=k(X n+1 = j)
k=1
∑j−1
= P(X n = j)P Xn=j(X n+1 = j) + P(X n = k)P Xn=k(X n+1 = j)
k=1
= j N P(X ∑j−1
n = j) + P(X n = k) 1 N
k=1
⎛ ⎞ ⎛ 1 ⎞
P(X n+1 = 1) N
0 · · · 0 ⎛ ⎞
P(X P(X n+1 = 2)
Donc ⎜
⎝
⎟
. ⎠ = 1
2 . ..
. n = 1)
..
N
⎜
N
P(X n = 2)
⎝
.
. .. . ⎟ ⎜
.. 0
⎠ ⎝
⎟
. ⎠ .
P(X n+1 = N) 1
N · · · 1 P(X
N
1 n = N)
⎛ 1 ⎞
N
0 · · · 0
1
2 . ..
. ..
Ainsi A =
N
⎜
N
⎝
.
. .. . ⎟ .. 0
⎠ .
1
N · · · 1
N
1
b) A est une matrice triangulaire inférieure, donc les coefficients diagonaux de A sont les
valeurs propres de A.
Alors A admet n valeurs propres distinctes.
Donc A est diagonalisable.
⎛ ⎞
1 0 0
6. Si N = 3, alors A = 1 ⎝1 2 0
3
⎠.
1 1 3
⎛ ⎞
1
Par une récurrence immédiate, V n = A n−1 V 1 . Or V 1 = 1 ⎝1
3
⎠.
1
⎛ ⎞
1
Le sous-espace propre de A associé à la valeur propre 1 3 est E A( 1 3 ) = Vect( ⎝−1⎠).
⎛
0
⎞
0
Le sous-espace propre de A associé à la valeur propre 2 3 est E A( 2 3 ) = Vect( ⎝ 1 ⎠).
−1
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