Corrigé des exercices - Dunod

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Exercice 21.21
1.
• Notons que N n(a,b)
n
est égal 1 n
∫ b
n∑
χ [a,b] (u k ), où χ [a,b] est la fonction caractéristique de
k=1
l’intervalle [a,b] et que χ [a,b] (t)dt = b−a. La propriété est donc vérifiée pour la fonction
a
χ [a,b] .
Il en est de même pour la fonction caractéristique d’un intervalle ouvert. En effet, comme
1
n
n∑
k=1
χ ]a,b[ (u k ) = N n(a,b)
n
− N n(a,a)
n
− N n(b,b)
,
n
1
n∑
on a encore lim χ ]a,b[ (u k ) = b − a + a − a + b − b = b − a =
n→+∞ n
k=1
serait de même pour un intervalle semi-ouvert.
∫ b
a
χ ]a,b[ (t)dt. Il en
• Toute fonction en escalier est combinaison linéaire de fonctions caractéristiques d’intervalles.
Si f est une fonction en escalier et σ = (x 0 ,...,x p ) une subdivision adaptée et λ k
la valeur de f sur ]x k ,x k+1 [, f peut s’écrire
∑p−1
f = λ k χ ]xk ,x k+1 [ +
k=0
p∑
f(x k )χ [xk ,x k ].
On en déduit la propriété pour les fonctions en escalier, par linéarité de la limite et de
l’intégrale.
• Soit f une fonction continue sur [0,1], ϕ et ψ deux fonctions en escalier telles que
ϕ f ψ et
On a, pour tout entier n ∈ N ∗ ,
1
n
D’après ce qui précède, 1 n
et
∫ b
a
n∑
ϕ(u k ) 1 n
k=1
n∑
ϕ(u k ) et 1 n
k=1
∫ b
a
k=0
ϕ(t)dt −
∫ b
a
n∑
f(u k ) 1 n
k=1
ψ(t)dt ε.
n∑
ψ(u k ).
k=1
n∑
ψ(u k ) tendent respectivement vers
k=1
ψ(t)dt. On peut donc trouver un entier n 0 tel que, pour n n 0 , on ait
1
n
n∑
ϕ(u k )
k=1
Pour n n 0 , on a
∫ b
a
∫ b
a
ϕ(t)dt − ε et
ϕ(t)dt − ε 1 n
1
n
n∑
ψ(u k )
k=1
n∑
f(u k )
k=1
∫ b
a
∫ b
a
ψ(t)dt + ε.
ψ(t)dt + ε.
∫ b
a
ϕ(t)dt