Corrigé des exercices - Dunod

281
Exercice 24.9
On effectue des développements limités de x ↦−→ e x + e −1 d’ordre 1 et de x ↦−→ ln(1 + x)
d’ordre 2 (car on va mettre x en facteur). On obtient
e x + e −x
ln(1 + x) = 2 + o(x)
x − 1 2 x2 + o(x 2 ) = 1 1 + o(x)
x 1 − 1 2 x + o(x)
= 1 (1 + 1 )
x 2 x + o(x) = 1 x + 1 2 + o(1)
et donc
e x + e −x
ln(1 + x) − a x + b = 1 − a + 1 x 2 + b + o(1).
La limite est nulle si a = 1 et b = − 1 2 .
Exercice 24.10
On détermine pour commencer le développement limité d’ordre 3 de la dérivée de la fonction
considérée. On obtient
1
√
1 + x
2 = (1 + x2 ) − 1 2 = 1 −
1
2 x2 + o(x 3 ),
car la fonction est paire. Le développement limité de la fonction F : x ↦−→
s’obtient en intégrant terme à terme. On trouve puisque F(0) = 0,
F(x) = x − 1 6 x3 + o(x 4 ).
∫ x
0
1
√
1 + t
2 dt
On a alors
∫ x
2
x
1
√
1 + t
2 dt = F(x2 ) − F(x) = −x + x 2 + 1 6 x3 + o(x 4 ).
Exercice 24.11
1. On a, pour x ∈ R ∗ ,
f(x) =
x
e x − 1 = x
x + 1 2 x2 + o(x 2 ) = 1
1 + 1 2 x + o(x) = 1 − 1 2 x + o(x).
Comme de plus f(0) = 1, valeur prise par le développement limité en 0, la fonction possède
un développement limité d’ordre 1 en 0 donc elle est dérivable en 0 et le nombre dérivé est
le coefficient de x : f ′ (0) = − 1 2 .
2. La fonction exp possède un développement limité en 0 de tout ordre. Pour n ∈ N et
x ∈ R ∗ , on a
f(x) =
n+1
∑
k=1
x
x k
k! + o(xn+1 )
=
n+1
∑
k=1
1
x k−1
k!
+ o(x n )
=
n∑
k=0
1
.
x k
(k + 1)! + o(xn )