Corrigé des exercices - Dunod

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3. On écrit
(
1 +
n) 1 n ( (
= exp nln 1 + 1 ))
et utilise un développement limité d’ordre 2
n
de x ↦−→ ln(1 + x) au voisinage de 0. On obtient
(
nln 1 + 1 ) ( 1
= n
n n − 1 ( )) 1
2n 2 + o n 2 = 1 − 1 ( ) 1
2n + o n
puis
( (
u n = n e − exp 1 − 1 ( ))) ( 1
2n + o = ne 1 − 1 + 1 ( )) 1
n
2n + o = e n 2 + o(1)
et donc
( (
lim n e − 1 + 1 ) n )
= e
n→+∞ n 2 .
4. On met n en facteur et on obtient
(
n n+1
n
n − (n − 1) n−1 = n e ln n
n
car lnn et
n
n 2 (1
n − 1 ln − 1 n
lnn
n − 1 +
n
− e n−1 ln(n−1)−ln n) = n
( lnn
∼ n
n − lnn
n − 1 − n
∼ − lnn
n − 1 −
n2
n − 1 ln (1 − 1 n
(1
n − 1 ln − 1 n
)
,
(
e ln n
n
))
n (1
n − 1 ln − 1 )
tendent vers 0. Comme
)
n
∼ n2
n − 1 · −1 ∼ −1, on en déduit que
n
lim n n+1
n
n − (n − 1) n−1 = 1.
n→+∞
− e
ln n
n−1 + n
lim
n→+∞
n−1 ln(1− 1 n) )
lnn
n − 1 = 0 et
Exercice 24.8
La fonction f des développements limités de tout ordre en 0. Écrivons son développement
limité d’ordre 5. On obtient
f(x) = x − 1 3 x3 + 1 5 x5 + o(x 5 ) − (x + ax 3 )(1 − bx 2 + b 2 x 4 + o(x 5 ))
=
(− 1 ) ( ) 1
3 − a + b x 3 +
5 + ab − b2 x 5 + o(x 5 ).
Pour que f(x) possède un équivalent en 0 de degré supérieur à 5, il faut − 1 3 − a + b = 0 et
1
5 + ab − b2 = 0. On trouve a = 4 15 et b = 3 . Pour ces valeurs de a et b, f(x) possède un
5
équivalent de degré au moins 7, car f est impaire. On peut vérifier qu’il est effectivement de
degré 7.