CorrigÃ© des exercices - Dunod

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20 D’autre part, (1 −a n )(1 −a n−1 ) · · · (1 −a 1 ) = 0 (car a n = 1). On conclut en multipliant par n. Exercice 5.22 1. A et B étant des parties bornées de R admettent des bornes supérieures. Tout élément x de A ∪B appartient à A ou à B. Il est donc majoré par supA ou par supB, donc majoré par la plus grande des deux. Ainsi, max(supA,supB) est un majorant de A ∪ B. Donc A ∪ B étant majoré, admet une borne supérieure qui est inférieure à ce majorant. On en déduit que sup(A ∪ B) max(supA,supB). Réciproquement, par définition de la borne supérieure, quel que soit le réel ε strictement positif, il existe un élément x de A, donc de A ∪ B tel que supA − ε < x, ce qui prouve que supA sup(A ∪ B). On obtient clairement le même résultat avec supB. On en déduit ainsi que max(supA,supB) sup(A ∪ B), et par suite que sup(A ∪ B) = max(supA,supB). Exercice 5.23 a) Pour tout entier naturel non nul n, n − 1 n et n + 1 n sont des réels positifs. Donc I est minoré par 0. D’autre part, n − 1 n < n + 1 , donc I est majoré par 1. n b) On a f(1) = 0, donc 0 est le minimum, donc la borne inférieure de I. Soit ε un réel positif √ non nul. L’inéquation 1 −ε < f(n) équivaut, après calcul, à εn 2 > 2 −ε 2 − ε En prenant n > , on prouve que 1 − ε n’est pas un majorant de I. Ceci prouve que ε la borne supérieur de I est égale à 1. c) On a déjà montré que 0 est le minimum de I. D’autre part, la borne supérieure de I est 1, mais 1 n’est pas élément de I, donc I n’admet pas de maximum. d) On a f(n) = n2 − 1 n 2 + 1 . La condition f(n) = f(p) équivaut donc à n2 − 1 n 2 + 1 = p2 − 1 p 2 + 1 , c’est à dire à n 2 p 2 − p 2 + n 2 − 1 = n 2 p 2 + p 2 − n 2 − 1, c’est à dire encore à p 2 = n 2 , soit n = p, car ce sont des nombres positifs. La conclusion en découle. f est donc bijective de N sur son image I, et donc CardI = CardN. On conclut donc que I n’est pas un ensemble fini. Exercice 5.24 1. • S 1 = n∑ k 2 − k=1 • Posons T i = j=1 n∑ k = k=1 Il en résulte que : S 2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 − n(n + 1) 2 = n(n2 − 1) 3 i∑ i(i + 1) (i−1)(n−j+1) = i(i−1)(n+1)−(i−1) 2 n∑ T i = i=2 n∑ ((n + 1)(i 2 − i) + i − ) n∑ i3 = (n + 1) (i 2 − i) + 1 2 2 i=2 i=2 = (n+1)(i 2 −i)+ i − i3 . 2 n∑ (i − i 3 ) i=2
21 Les termes correspondant à i = 1 peuvent être rajoutés, car ils s’annulent dans les deux n∑ sommes. Donc : S 2 = (n+1) (i 2 −i)+ 1 n∑ (i−i 3 ) = (n+1)S 1 + 1 n(n + 1) − 1 n 2 (n + 1) 2 , 2 2 2 2 4 i=1 i=1 soit : S 2 = (n+1) n(n + 1)2 (n − 1) n(n + 1) + − n2 (n + 1) 2 n(n + 1) = [8(n 2 −1)+6−3(n 2 +n)]. 3 4 8 24 Après développement et factorisation, on trouve : S 2 = n(n2 − 1)(5n + 2) . 24 • S 3 = n∑ (n − i + 1) i=1 i∑ j = j=1 n∑ (n − i + 1) i=1 i(i + 1) 2 = 1 2 = n2 (n + 1)(2n + 1) n(n + 1)2 + − n2 (n + 1) 2 = 12 ( 4 ( )) 4 n(n + 1)(n + 2)(n + 3) n + 3 = = 24 4 Exercice 5.25 1. ∑ Max(i,j) = 2 ∑ n∑ j + i. et ∑ n∑ j = i,j i
Page 1: Corrigé des exercices 1
Page 4 and 5: 4 P Q 9 10 11 12 13 14 15 16 V V F
Page 6 and 7: 6 Dans tous les cas, un élément q
Page 8 and 9: 8 2. f(A) = {1}; 3. f(A) = [0,2];
Page 10 and 11: 10 l’hypothèse, g ◦f ne serait
Page 12 and 13: 12 2. f est une bijection de R \ f
Page 14 and 15: 14 Exercice 5.6 1. Considérons la
Page 16 and 17: 16 3. En appliquant ce qui précèd
Page 18 and 19: 18 façon que n = 4a+9b. Considéro
Page 22 and 23: 22 Chapitre 6 Exercice 6.1 Nous ne
Page 24 and 25: 24 Exercice 6.8 1. Soit a un comple
Page 26 and 27: 26 fait) que a ∈ [2 − √ 3,2+
Page 28 and 29: 28 n−1 ∑ 2. Si ω p = 1, alors
Page 30 and 31: 30 Exercice 6.27 On pose Z = z n .
Page 32 and 33: 32 z 3 = 1 2 ⎛ ⎝− 1 − √ 5
Page 34 and 35: 34 2. z 4 + 4z 3 + 4z 2 + 1 = z 2 (
Page 36 and 37: 36 2. On calcule Q(1) = 0, puis, av
Page 38 and 39: 38 Exercice 7.23 Si a est une racin
Page 40 and 41: 40 Exercice 7.28 1. Posons Y = X +
Page 42 and 43: 42 Exercice 8.4 La relation bien co
Page 44 and 45: 44 • Pour n = 0, la propriété d
Page 46 and 47: 46 Exercice 8.18 1. a) Pour tout en
Page 48 and 49: 48 e) Chaque rangement de p boules
Page 50 and 51: 50 3. Il faut ici d’abord réalis
Page 52 and 53: 52 Soient f,g deux fonctions de A e
Page 54 and 55: 54 Exercice 9.6 Soient a,b,c trois
Page 56 and 57: 56 Exercice 9.10 1. Comme (−3,
Page 58 and 59: 58 Exercice 9.14 Pour tout réel x
Page 60 and 61: 60 Exercice 9.18 1. Si f était dé
Page 62 and 63: 62 Exercice 9.24 1. Par définition
Page 64 and 65: 64 6. Soient f,g ∈ E et λ,µ deu
Page 66 and 67: 66 3. On sait que l’image par f d
Page 68 and 69: 68 f est une application linéaire.
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70 Exercice 10.13 1. Montrons d’a
Page 72 and 73:
72 2. a) Nous avons d’une part f(
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74 Exercice 11.3 Soit y ∈ Im(u+v)
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76 Or il est clair que Im(h) = Im(g
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78 Exercice 11.11 1. Tout d’abord
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80 Exercice 11.12 1. On a T(X) = (X
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82 Exercice 12.2 1. Soient A,B ∈
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84 De même (0,1) = a(1, −1)+b(2,
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86 4. Au rang 1, un endomorphisme n
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88 3. Avec les mêmes notations, on
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90 Exercice 12.14 1. L’image par
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92 4. On inverse la matrice de f da
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94 ⎛ → ⎜ ⎝ 2 −2 1 −5 3
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96 soit n−1 ∑ L n : x 1 + x n +
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98 En effectuant à nouveau les op
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100 2. Une équation de E −2 est
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102 3. λ est valeur propre si et s
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104 D’où E 0 = Vect(−1,0,1). U
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106 D’où E −1 = Vect(1,2,2). D
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108 1 er cas λ = −2 On obtient a
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110 Exercice 14.8 1. On triangule l
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112 4. a) On voit que ⎛ ⎝ c’e
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114 b) Avec une telle hypothèse su
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116 b) On a donc M = (a − c)PIP
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118 12. C’est vrai pour ⎛ n = 1
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120 18. On a donc ⎧⎛ ⎨ C(A) =
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122 Exercice 15.4 On a Si a > b, on
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124 Si (v n ) n∈N converge vers 0
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126 2. On a, pour n 1, lnu n = n
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128 En mettant en facteur √ 2, on
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130 2. On remarque que, pour tout n
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132 Exercice 15.23 1. On a, pour to
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134 Exercice 15.26 La suite (u n )
Page 136 and 137:
136 On remarque que et on obtient (
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138 3. On déduit de la question 2
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140 x 1 1 1 . On a donc inf A et
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142 3. Notons p = Ent(nx) et effect
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144 5. En multipliant par l’expre
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146 Exercice 16.6 On note que, pour
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148 2. Soit x 0 ∈ R + et ε > 0.
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150 Exercice 16.15 1. On a, pour to
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152 2. Pour tout n ∈ N, u n − v
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154 On en déduit que u n √ k = e
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156 3. Pour n n 0 , on a v n+2 = |
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158 u 0 = 1 − 1 n , avec n ∈ N
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160 Si u 0 ∈ I 4 , la suite (u n
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162 Exercice 17.22 1. La fonction g
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164 b) La fonction f est décroissa
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166 et g(x) − x = (r + x2 ) 2 (1
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168 Exercice 17.29 1. La fonction g
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170 3. On étudie (x x ) x x xx De
Page 172 and 173:
172 2. Puisque lim 2sin x = 1, on p
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174 Exercice 18.9 On compare la som
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176 On remarque que, pour tout enti
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178 On en déduit que nécessaireme
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180 3. Comme u n tend vers +∞, e
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182 4. On raisonne comme dans 3. En
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184 3. Pour n assez grand, on a nm
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186 Si g n’est pas strictement po
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188 On en déduit que lim |f(x)| =
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190 Pour tout y ∈] − 1,1[, y =
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192 5. On obtient : 0 arctan x < a
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194 2. La réciproque est fausse. S
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196 Pour le produit, on prend le lo
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198 Exercice 20.13 1. Si g(b) = g(a
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200 2. On procède comme dans la qu
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202 3. On a, pour tout réel x, f
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204 On obtient g ′ (x) = (c−x)(
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206 2. Soit f définie sur ] 0, π
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208 La fonction g α ′ s’annule
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210 Ainsi, si x < 0, f ′ (x) =
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212 n−2 ∑ Posons P n (x) = a k
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214 ce qui montre que la propriét
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216 ce qui est possible car x 0 n
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218 Exercice 20.43 1. La dérivée
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220 Chapitre 21 Exercice 21.1 1. On
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222 car e it ne peut pas être éga
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224 Ceci montre que la différence
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226 4. D’après la démonstration
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228 Exercice 21.13 La fonction f s
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230 4. Supposons que f tend vers +
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232 Exercice 21.18 1. Si M = 0, la
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234 Exercice 21.21 1. • Notons qu
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236 Comme, par positivité de l’i
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238 Si la propriété est vérifié
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240 1 est une primitive de x ↦−
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242 ] b) Pour tout x ∈ − π 2 ,
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244 Exercice 22.13 1. a) Pour n ∈
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246 Exercice 22.15 Pour x > 0, on f
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248 c) Supposons que l > 0. On a pa
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250 La fonction f est donc décrois
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252 H de h sur ]0,1[ ou ]1,+∞[ et
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254 c) Notons k le prolongement con
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256 3. On applique la formule de Ta
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258 |x| n 2. On montre comme dans l
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260 De même, f ′ est C 1 donc On
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262 3. On écrit l’inégalité de
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264 On observe que si x ∈ [0,1] e
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266 Comme lim f(x) = l, on a égale
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268 Exercice 23.19 1. Comme f est d
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270 b) On obtient, pour tous réels
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272 ( ) 4. On écrit (1 + 2x) 1 1+x
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274 2. En posant x = π + h, on obt
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276 2. On détermine un développem
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278 Exercice 24.6 1. On écrit des
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280 3. On écrit ( 1 + n) 1 n ( ( =
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282 n∑ x k La fonction x ↦−
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284 On obtient en sommant des relat
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286 3. On suppose x > 0. D’après
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288 Puisque g est décroissante sur
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290 Le signe de ϕ ′ (t) est celu
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292 Le développement limité de x
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294 Si on pose v n = ln n + 1 n , o
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296 2. On note S n la somme partiel
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298 ( ) 1−α m − 1 Quand m tend
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300 b) La suite (R n ) n∈N est à
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302 Exercice 25.9 1. On intègre pa
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304 Exercice 25.10 1. On obtient, e
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306 On reconnaît une somme de Riem
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308 La série de terme général v
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310 et donc S = ex 1 − x . Exerci
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312 on obtient U 2 n u 0 + u 1 + 1
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314 On applique de nouveau le résu
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316 Chapitre 26 Exercice 26.1 1. Le
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318 donc (X,Y ) ∈ Ω 3 . Enfin,
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320 montrent que les suites (a n )
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322 Le point (u,v) appartient donc
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324 n∑ λ i Comme = 1, l’hypoth
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326 2. On montre, comme dans la que
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328 La fonction (x,y) ↦−→ (
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330 y, il contient c xy et on a |f
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332 Exercice 27.13 La fonction f es
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334 Ces dérivées partielles sont
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336 On en déduit que |f(x,y)| |xy
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338 Exercice 28.7 Si U = (a,b) ≠
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340 Exercice 28.11 Les fonctions so
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342 Exercice 28.14 Sur l’ouvert
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344 2. On fixe (x,y) ∈ R 2 . La f
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346 3. P(E ∪ F) = P(E) + P(F) −
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348 Exercice 29.10 1. T ( {A∪B, A
Page 350 and 351:
350 2. Procèdons par récurrence s
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352 P R1∩···∩R n (R n+1 ) =
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354 Or +∞ ⋃ k=1 B k = +∞ ⋃
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356 Exercice 29.24 1. a) p 0 = 1 et
Page 358 and 359:
358 Si i = 6, ou 8 P(E i ) = 25 396
Page 360 and 361:
360 Exercice 29.30 1. M 4 = Id, Don
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362 Exercice 30.3 ∑ Comme X est u
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364 Donc en faisant tendre n vers +
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366 La série de terme général k
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368 n∑ u k = 1. k=1 Donc a n = 1
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370 c) Remarquons que E(Y ) = 4n2 +
Page 372 and 373:
372 Exercice 30.19 1. Par définiti
Page 374 and 375:
374 µ [3] = µ [2] = +∞∑ k=1 =
Page 376 and 377:
376 ( b Ainsi Z k suit une loi de B
Page 378 and 379:
378 x f ′ 0 1 6 1 + 0 − 0 f 0 (
Page 380 and 381:
380 E(Y n ) = 1 2 = 1 2 = 1 2 + 1 2
Page 382 and 383:
382 Or 1−p p appartient à [0,1]
Page 384 and 385:
384 Exercice 30.31 1. L’événeme
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386 Exercice 31.2 1. Pour tout enti
Page 388 and 389:
388 Soit k un entier supérieur ou
Page 390 and 391:
390 Ainsi Z − X et X ont même lo
Page 392:
392 Comme la série de terme géné
Page 395 and 396:
395 P(Y = k) = P(Y = k,X = 0) + P(Y
Page 397 and 398:
397 Donc S suit une loi de Poisson
Page 399 and 400:
n=0 P([X=n+1]∩[Y =n]) P(U=n,V =1)
Page 401 and 402:
401 Exercice 31.20 1. U(Ω) = {0,1,
Page 403 and 404:
403 Pour tout couple (i,j) d’enti
Page 405 and 406:
405 Par définition de la ⎧ covar
Page 407 and 408:
407 b) P(X < Y ) = = = +∞∑ +∞
Page 409 and 410:
Alors la suite (P(X n = N) − 1) n
Page 411 and 412:
Donc en posant p ′ = 1 2−p , X
Page 413 and 414:
413 par l’indépendance des varia
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