Corrigé des exercices - Dunod

366
La série de terme général k 2 λ2k
(2k)! = 1 4
(
E(2Y (2Y − 1)) =
D’après la formule de Koenig-Huygens
λ 2k
(2k−2)! +
+∞∑
k=1
= λ 2 e −λ +∞
∑
)
λ2k
(2k−1)!
converge.
2k(2k − 1)λ 2k
k=1
(2k)!
λ 2k−2
(2k − 2)!
= λ 2 e −λ eλ + e −λ
2
= λ2 (1 + e −2λ )
2
e −λ
V (Y ) = E(Y 2 ) − E(Y ) 2 = 1 4 (E(2Y (2Y − 1)) + E(2Y )) − E(Y )2 .
Ainsi V (Y ) = 1 8 λ(1 − e−2λ ) + 1
16 λ2 (4e −2λ + 1 − e −4λ ).
Exercice 30.10
1. Notons X 1 la variable aléatoire égale au nombre de jets de dés effectués par le joueur A 1
et X 2 la variable aléatoire égale au nombre de jets de dés effectués par le joueur A 2 .
X 1 et X 2 sont des variables aléatoires indépendantes de même loi géométrique de paramètre
1
9 .
Y = max(X 1 ,X 2 ). Y (Ω) = [1,+∞[
Pour tout entier k non nul, P(Y k) = P(X 1 k,X 2 k) =
(
1 − ( 8
9) k
) 2.
Or P(Y = k) = P(Y k) − P(Y k − 1).
(
Donc pour tout entier k non nul, P(Y = k) = 2 8
) k−1 (
9 9 −
17 8
) 2k−2.
81 9
2. S = 10(X 1 + X 2 ).
Déterminons la loi de X 1 + X 2 . (X 1 + X 2 )(Ω) = [2,+∞[.
Pour tout entier k de [2,+∞[, P(X 1 + X 2 = k) = +∞ ∑
P(X 1 = k − i,X 2 = i).
Or si i k, alors P(X 1 = k − i) = 0.
Donc P(X 1 + X 2 = k) = k−1 ∑ ( 1
) 2 ( 8
) k−2 (
9 9 = (k − 1) 1
) 2 ( 8
9 9
i=1
i=1
) k−2.
Ainsi pour tout entier k de [2,+∞[, P(S = 10k) = (k − 1) ( 1 2 ( 8 k−2.
9)
9)
Comme X 1 et X 2 sont des variables aléatoires indépendantes aui admettent une variance,
S admet une espérance et une variance.
E(S) = 10(E(X 1 ) + E(X 2 )) et V (S) = 100(V (X 1 ) + V (X 2 )).
Donc E(S) = 180 et V (S) = 14400.
La probabilité que les deux joueurs versent la même somme est la probabilité que X 1 = X 2 .
P(X 1 = X 2 ) = +∞ ∑
P(X 1 = i,X 2 = i) = +∞ ∑
P(X 1 = i)P(X 2 = i).
i=1
Ainsi P(X 1 = X 2 ) = 1
17 .
i=1